Extremwertaufgaben

13.02.2011, 20:59

Shqiptari

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Extremwertaufgaben

Meine Frage:
Guten Abend

ich komme mit den beiden Aufgaben einfach nicht klar, ich brauch dringend hilfe.

1. Einer Kugel vom Radius R (12 cm) soll der Zylinder mit der größtmöglichen Mantelfläche werden.

2. Einer Halbkugel vom Radius R (12 cm) ist der volumsgrößte Kegel einzuschreiben, dessen Spitze im Mittelpunkt der Halbkugel liegt.

Meine Ideen:
Zwar haben wir in der Klasse diese Aufgaben besprochen, haben jedoch bei mir nicht wirklich geholfen.

13.02.2011, 21:02

Shqiptari

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Also die

HB wäre dann A=2*pi*r*h
NB wäre also $\begin{eqnarray*} 12^2=r^2+(1/2 *h )^2 \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 21:30

sulo

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Rechne die NB nach einer Variablen um und ersetze diese in der HB. smile

smile

13.02.2011, 21:36

Shqiptari

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$\begin{eqnarray*} 12^2=r^2 (1/2 * h )^2 |-(1/2 * h )^2<br /> <br /> 12^2 - (1/2 * h )^2=r^2 | Wurzel<br /> <br /> <br /> 12 - (1/2 * h )=r <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

13.02.2011, 21:41

sulo

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Leider nicht. Du kannst nicht die Wurzel ziehen, die musst du erst mal mitschleppen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt{144 - \frac{h^2}{4} } \end{eqnarray*}$

Ich habe übrigens in meiner Rechnung wie du das r ersetzt. Freude

Freude

13.02.2011, 21:48

Shqiptari

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So. Wie bekomm ich den die Wurzel jetzt von dort weg? Verzeih mir bitte aber ich hab da so meine Probleme mit Wurzeln.

$\begin{eqnarray*} A=2*pi* \sqrt{144 - \frac{h^2}{4} } *h<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

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13.02.2011, 21:49

Bjoern1982

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Kleine Anmerkung:

In der Aufgabe ist das Wörtchen "einbeschrieben" bei 1) nicht zu erkennen.
Somit müsste man eigentlich sowas wie $\begin{eqnarray*} V_{Kugel}=V_{Zylinder} \end{eqnarray*}$ als Nebenbedingung nehmen.

13.02.2011, 21:49

sulo

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Die bekommst du erst nach dem Ableiten weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tipp: Schreibe die Wurzel als "hoch 1/2"

13.02.2011, 21:53

Shqiptari

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hoch 1/2 ? verwirrt

verwirrt

13.02.2011, 21:58

sulo

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Das solltest du aus der 9. Klasse (Wurzeln und Potenzen) kennen. Es ist das gleiche wie Wurzel, bloß lässt sich 1/2 als Potenz einfacher ableiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit:
@Bjoern1982
Ja, das fehlende "einbeschrieben" wollte ich auch anmerken, aber habe es dann aber vergessen, weil die NB schon eindeutig zeigt, was gemeint ist.
Wink

Wink

13.02.2011, 22:05

Shqiptari

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Ach stimmt Hammer

Hammer

die Wurzel wird aus 1/2 ersetzt.

$\begin{eqnarray*} A=2*pi* ({144 - \frac{h^2}{4} })^\frac{1}{2} *h<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 22:07

sulo

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Gut, denn leite mal ab. Freude

Freude

13.02.2011, 22:12

Shqiptari

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Die 2, pi und das h verschwinden beim ableiten

dann ist

$\begin{eqnarray*} A'=- { \frac{h^3}{4} }^\frac{1}{2} <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 22:13

sulo

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Ich befürchte, du musst die Produkt- und die Kettenregel anwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2011, 22:21

Shqiptari

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Ach mist ich bekomm das nicht auf die Reihe...

13.02.2011, 22:25

sulo

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Teile die Funktion in zwei Faktoren und wende die Faktorregel an:

$\begin{eqnarray*} A(h)=(2*pi* h)*({144 - \frac{h^2}{4} })^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bei der Wurzel musst du an die Kettenregel denken, also noch mit der inneren Ableitung multiplizieren.

smile

smile

13.02.2011, 22:31

Bjoern1982

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Noch eine kleine Anmerkung (falls man es später nochmal anders probieren mag):

Das Quadrieren der Zielfunktion ändert nichts an den Extremstellen.

13.02.2011, 22:35

sulo

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Danke, Bjoern. Freude

Freude

Wenn Shqiptari diesen Weg gehen möchte, kann sie (?) das gerne tun.

Ich denke aber, diese Aufgabe ist nicht schwer und die Wurzel kann man bei A'(h) auch schön eliminieren.

13.02.2011, 22:36

Bjoern1982

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Wollte nich stören, nur so als Alternative für andere Mitleser smile

smile

13.02.2011, 22:38

Shqiptari

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Dann muss das ungefähr so sein

$\begin{eqnarray*} A(h)=(2*pi* h)*({144 - \frac{h^2}{4} })^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(h)=1*1/2({ - \frac{h^3}{4} })^-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

13.02.2011, 22:42

sulo

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Letzteres.

Kennst du nicht die Produktregel? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(x) = u(x) \cdot v(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_a) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \end{eqnarray*}$ bzw: $\begin{eqnarray*} (uv)' = u'v + uv' \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 22:43

Shqiptari

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Doch aber ich weiß nicht wie ich sie hier anwenden soll

13.02.2011, 22:50

sulo

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Ich bereite dem Jammer mal ein Ende und schreibe die Ableitung mal sehr ausführlich auf:

$\begin{eqnarray*} A(h)=(2*pi* h)*({144 - \frac{h^2}{4} })^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(h)=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+2*pi* h*\frac{1}{2} *\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\left(\frac{-h}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du dran. smile

smile

13.02.2011, 23:09

Shqiptari

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Ist der Anfang richtig?
$\begin{eqnarray*} A(h)=904^\frac{1}{2} * ( - {\frac{6,28*h^2}{4} })^\frac{1}{2}+ 452h... \end{eqnarray*}$

13.02.2011, 23:12

sulo

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Du sollst eigentlich nur ein bisschen vereinfachen, also zusammenfassen, kürzen..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann setzt du A'(h) = 0 und kannst h ausrechnen.

13.02.2011, 23:14

Shqiptari

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Hat sich doch langgezogen die Aufgabe danke für die Hilfe erstmal, ich meld mich morgen wieder smile

smile

13.02.2011, 23:17

sulo

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Ok.

Noch ein Tipp: Du kannst eigentlich nur den zweiten Summanden vereinfachen. Nach dem Nullsetzen kannst du dann sehr leicht die Wurzel eliminieren.

Bis morgen. Wink

Wink

14.02.2011, 19:41

Shqiptari

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Hallo, da bin ich wieder, ich hab mal eine Frage kann man das auch nicht so machen?

$\begin{eqnarray*} HB: M=2*pi*r*h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} NB: 12^2=(12*h)^2 + r^2 \end{eqnarray*}$

und dann...
$\begin{eqnarray*} 12^2=(12*h)^2 + r^2 |-12*h^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12^2 -(12*h^2) = r^2 | Wurzel \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{12^2 -(12*h^2)} = r \end{eqnarray*}$

r setzte ich bei der HB ein:

$\begin{eqnarray*} M= 2*pi*\sqrt{12^2 -(12*h^2)} *h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M= 2*pi* h* \sqrt{144 -(144-24h + h^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M= 2*pi* h* \sqrt{24h - h^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M= \sqrt{4*pi^2* h2* (24h - h^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M= \sqrt{96*pi^2*h^3 - 4*pi*h^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M= (96*pi^2*h^3 - 4*pi*h^4)^1/2 \end{eqnarray*}$

Und dann zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} M= (92h)^1/2 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

14.02.2011, 19:54

sulo

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Ich kann deine NB nicht nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} NB: 12^2=(12*h)^2 + r^2 \end{eqnarray*}$

Das hieße: $\begin{eqnarray*} NB: 144 = 144*h^2 + r^2 \end{eqnarray*}$

Die von mir errechneten Werte für h und r erfüllen diese Gleichung nicht.

Warum bleibst du nicht auf dem bisher gegangenen Weg?

14.02.2011, 21:52

Shqiptari

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Wir hatten in der Schule ähnlich Aufgaben bekommen, jedoch kam bei garkeiner das einsetzen von Kettenregel bzw. Produktregel vor. Deshalb versuchte ich einen einfacheren Weg zu finden. Wie es aussieht geht es nicht anderes. Dann machen wir weiter dort wo wir gestern aufgehört haben.

Zitat:

Original von sulo
Ok.

Noch ein Tipp: Du kannst eigentlich nur den zweiten Summanden vereinfachen. Nach dem Nullsetzen kannst du dann sehr leicht die Wurzel eliminieren.

Bis morgen. Wink

Wink

Hier kommt doch garkein Summand vor:

$\begin{eqnarray*} A'(h)=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+2*pi* h*\frac{1}{2} *\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\left(\frac{-h}{2} \right) \end{eqnarray*}$
Sehr viel vereinfachern kann man hier auch eigentlich nicht, oder? Ich würde jetzt so weiter fortfahren:

$\begin{eqnarray*} A'(h)=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\left(\frac{pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 22:01

sulo

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$\begin{eqnarray*} A'(h)=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+2*pi* h*\frac{1}{2} *\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\left(\frac{-h}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand steht hinter dem + und du hast ihn ja auch vereinfacht.

Allerdings ist dir ein Fehler unterlaufen: h·(-h) ergibt -h² Augenzwinkern

Augenzwinkern

Berücksichtige dies und du kannst die Ableitung dann = 0 setzen. smile

smile

14.02.2011, 22:16

Shqiptari

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Hmm, dann musst das im prinzip so aussehen

$\begin{eqnarray*} A'(h)=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\left(pi*(-h^2) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\left(pi*(-h^2) \right) \end{eqnarray*}$

14.02.2011, 22:23

sulo

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Dir ist irgendwo ein 1/2 abhanden gekommen. So ist die Gleichung richtig:

$\begin{eqnarray*} 0=2*pi*\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}+\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{-1}{2} *\frac{1}{2}*\left(pi*(-h^2) \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt mal ein bisschen zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} 0=2*\pi *\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}-\frac{\pi*h^2}{\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}} *\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? smile

smile

14.02.2011, 22:42

Shqiptari

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Ich wandle den ersten Minuend in einem Bruch um, nun besitze ich bei beiden Brüchen den selben Nenner.

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2*\pi}{\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}} -\frac{\pi*h^2}{\left({144 - \frac{h^2}{4} }\right) ^\frac{1}{2}} *\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

So weit richtig? smile

smile

14.02.2011, 22:53

sulo

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Upps, nein, das geht gar nicht.

Bringe lieber den Minuenden auf die andere Seite der Gleichung und multipliziere mit der Wurzel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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