Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung

13.02.2011, 22:07

Ein guter Schüler

Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung

Hallo Matheboard,

wie das Thema schon sagt, habe ich ein paar Fragen zur Integralrechnung:

1) Wie eine Achsensymetrie sich auf die Inegralrechnung auswirkt weiß ich, aber wie verhält es sich mit einer Punktsymetrie? Bei einer Parabel, die Achsensymetrisch zur Y-Achse ist, kann ich ja das Integral von 0 bis zur oberen Grenze mal zwei nehmen, aber was passiert, wenn ich eine Punktsymetrie vorliegen habe?

2) Jetzt eine Frage zu einer Aufgabe:
"Gegeben ist die Funktion f durch $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{8}x^{3} +\frac{1}{4}x^{2}+x \end{eqnarray*}$ . Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der Tangente an den Graphen im Punkt (2/2) eingeschlossen wird.

Hier die erste Frage dazu:
Wie können der Graph und die Tangente eine Fläche einschließen, obwohl die Tangente den Graphen nur in einem Punkt berührt? Ich meine, da müssen doch mindestens zwei Schnittpunkte sein.

Diese Aufgabe haben wir dann in der Schule zusammen gerechnet:
Zunächst einmal haben wir die Tangente bestimmt: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2}x +1 \end{eqnarray*}$

Dann wollten wir seltsamerweise die Schnittstellen beider Graphen berechnen und sind dann auf folgende Gleichung gekommen:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8}x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2}x-1=0 \end{eqnarray*}$

Dann haben wir die Polynomdivision darauf angewandt und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8}x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2}x-1 \end{eqnarray*}$ durch (x-2) geteilt.

Frage: Wie sind wir darauf gekommen, dass wir durch (x-2) teilen müssen?

Durch die Polynomdivision sind wir auf $\begin{eqnarray*} x^{2} - 4 \end{eqnarray*}$ gekommen und haben daraus geschlossen, dass das Intervoll von -2 und 2 liegt.
Dann sind wir auf folgendes Inegral gekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (f(x)-g(x)) \, dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{1}{2}x) \, dx+\int_a^b \! (\frac{1}{4}x^{2}-1) \, dx \end{eqnarray*}$

Frage: Wie sind wir auf diese Gleichung gekommen?

Letztendlich sind wir dann auf
$\begin{eqnarray*} 0+2\cdot \int_a^b \! (\frac{1}{4}x^{2}-1) \, dx \end{eqnarray*}$
gekommen, wobei hier die untere Grenze 0 und die obere Grenze 2 ist.
Das Ergebnis ist dann $\begin{eqnarray*} 2\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das jemand sich die Mühe macht sich alles durchzulesen und mir helfen kann. Vielen Dank im Voraus! smile

13.02.2011, 22:35

Ein Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung
Frage: Wie sind wir darauf gekommen, dass wir durch (x-2) teilen müssen

Durch probieren. Meistens ist es 1 oder -1 oder 2

13.02.2011, 22:42

Nelstar

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung

Zitat:

Original von Ein guter Schüler
Hallo Matheboard,

wie das Thema schon sagt, habe ich ein paar Fragen zur Integralrechnung:

1) Wie eine Achsensymetrie sich auf die Inegralrechnung auswirkt weiß ich, aber wie verhält es sich mit einer Punktsymetrie? Bei einer Parabel, die Achsensymetrisch zur Y-Achse ist, kann ich ja das Integral von 0 bis zur oberen Grenze mal zwei nehmen, aber was passiert, wenn ich eine Punktsymetrie vorliegen habe?

Wenn du tatsächlich einen Flächeninhalt bestimmen sollst, dann gilt das Gleiche.

Zwar liegt eine Fläche unterhalb (negative Flächenmaßzahl) und die andere oberhalb (positive Flächenmaßzahl) der x-Achse. Da wir aber ohnehin nur Beträge der Flächenmaßzahlen betrachnten, kannst du den Ebtrag der einen Flächenmaßzahl verdoppeln.

Zitat:

Wie können der Graph und die Tangente eine Fläche einschließen, obwohl die Tangente den Graphen nur in einem Punkt berührt? Ich meine, da müssen doch mindestens zwei Schnittpunkte sein.

Dass die sich in einem Punkt berühren, schließt ja nicht aus, dass die sich noch woanders schneiden.

Zitat:

Dann wollten wir seltsamerweise die Schnittstellen beider Graphen berechnen

Also, eben wolltest du noch mindestens einen zweiten Schnittpunkt Big Laugh

Zitat:

Frage: Wie sind wir darauf gekommen, dass wir durch (x-2) teilen müssen?

Bei der Polynomdivision wird immer durch (x-x1) geteilt.

Zitat:

Frage: Wie sind wir auf diese Gleichung gekommen?

Das ist die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven Augenzwinkern

14.02.2011, 13:28

Ein guter Schüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Danke für eure Antowrten!

Zitat:

Das ist die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven Augenzwinkern

Eigentlich meinte ich, wie wir auf diese Gleichung gekommen sind:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{1}{2}x) \, dx+\int_a^b \! (\frac{1}{4}x^{2}-1) \, dx \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus

14.02.2011, 19:09

Ein guter Schüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Um genauer zu sein:
Ich weiß nicht ganz wie man auf diese Gleichung kommt:
$\begin{eqnarray*} 0+2\cdot \int_a^b \! (\frac{1}{4}x^{2}-1) \, dx \end{eqnarray*}$
Woher kommt zb. die Null her?

14.02.2011, 20:16

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung
Ich finde diese Herangehensweise auch etwas eigenartig. Offenbar hat man da das Integral "geschickt" aufgeteilt, um sich lästige Rechnungen zu ersparen. Wenn man dieses Integral

$\begin{eqnarray*} \left \vert \, \int\limits_{-2}^2 \left ( - \frac{1}{8}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-1 \right ) \dx \, \right \vert \end{eqnarray*}$

bestimmen will, muss man ja mit dem ganzen Einsetzen ein bisschen rumrechnen. Teilt man es hingegen auf, wie ihr es gemacht habt, erhält man zwei Integrale, die man vielleicht etwas schneller abhandeln kann. Allerdings muss man das auch erstmal so erkennen. Hier mal einfach nur f(x) und g(x) in der ursprünglichen Form:

Wenn man es jetzt so aufteilt, wir ihr das gemacht habt, wird das linke Integral (roter Graph unten) aus Symmetriegründen null. Beim rechten Integral (grün unten) liegt für den Integranden Achxsensymmetrie vor. Darum der Faktor 2 davor und die Abänderung der Grenzen von -2 bis 2 auf 0 bis 2. Letzteres kann man machen, muss man aber nicht.

$\begin{eqnarray*} \left \vert \, \int\limits_{-2}^2 \underset{\text{punktsymmetrisch}}{\left ( - \frac{1}{8}x^3+\frac{1}{2}x \right )} \dx + \int\limits_{-2}^2 \underset{\text{achsensymmetrisch}}{\left ( \frac{1}{4}x^2-1 \right )} \dx \, \right \vert \end{eqnarray*}$

Sowas muss man aber wie gesagt erstmal erkennen. Allerdings scheinen da auch noch Vorzeichenfehler drin zu sein, wir haben hier wohl den Integranden f(x)-g(x) aufgeschrieben, eigentlich muss es aber andersrum sein. Du siehst ja, dass die Fläche bei dem grünen Graphen unterhalb der x-Achse liegt. Gegebenenfalls Beträge nehmen.

14.02.2011, 20:42

Ein guter Schüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Vielen Dank für deine Erklärung!

Zitat:

Allerdings scheinen da auch noch Vorzeichenfehler drin zu sein, wir haben hier wohl den Integranden f(x)-g(x) aufgeschrieben, eigentlich muss es aber andersrum sein. Du siehst ja, dass die Fläche bei dem grünen Graphen unterhalb der x-Achse liegt. Gegebenenfalls Beträge nehmen.

Stimmt, ich habe die Betragsstriche vergessen.

Zitat:

Wenn man es jetzt so aufteilt, wir ihr das gemacht habt, wird das linke Integral (roter Graph unten) aus Symmetriegründen null. Beim rechten Integral (grün unten) liegt für den Integranden Achxsensymmetrie vor. Darum der Faktor 2 davor und die Abänderung der Grenzen von -2 bis 2 auf 0 bis 2. Letzteres kann man machen, muss man aber nicht.

Ok, jetzt anhand der Grafik sehe ich es auch, aber wie kann ich denn ohne den Graph zeichnen zu müssen, sehen, wo der Symetriepunkt bzw. die Symetrieachse ist?

MfG

14.02.2011, 21:17

Nelstar

Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst du nicht zwingend Big Laugh

Du bekommst das Ergebnis auch ohne diese Vereinfachung heraus.

14.02.2011, 21:22

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung

Zitat:

Original von Ein guter Schüler
Ok, jetzt anhand der Grafik sehe ich es auch, aber wie kann ich denn ohne den Graph zeichnen zu müssen, sehen, wo der Symetriepunkt bzw. die Symetrieachse ist?

Naja, bei Polynomen schaut man sich dafür die Potenzen an, die vorkommen. Schlag gegebenenfalls nochmal die Begriffe "gerade und ungerade Funktionen" nach. Entsprechend habt ihr ja auch euer Integral aufgeteilt. Ansonsten gibt es dafür ja eben die gängigen Zusammenhänge, die man eben überprüfen kann/muss:

$\begin{eqnarray*} \text{Achensymmetrie (x-Achse)}: \, f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Punktsymmetrie zum Punkt (a $ | $ b)}: \, f(a+x)-b=-f(a-x)+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Punktsymmetrie zum Ursprung}: \, f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$

Bedenke aber, dass diese ganzen Spielereien mit den Symmetrien hier überhaupt nicht zwingend waren. Man hätte auch ganz stur an dieser Stelle

$\begin{eqnarray*} \left \vert \, \int\limits_{-2}^2 \left ( - \frac{1}{8}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-1 \right ) \dx \, \right \vert \end{eqnarray*}$

integrieren und die Grenzen einsetzen können. Dann wäre man auch zum Ergebnis gekommen.

29.11.2012, 18:47

p4nd4

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe diese Aufgabe auch in der Schule und hänge gerade fest..

Zitat:
Diese Aufgabe haben wir dann in der Schule zusammen gerechnet:
Zunächst einmal haben wir die Tangente bestimmt: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2}x +1 \end{eqnarray*}$

Ich rechne wie folgt:
f'(2)= 1/2
y=mx+b
2= 1/2 +b | -1/2
1,5= b

Was mache ich falsch? Erstaunt2

Neue Frage »

Antworten »

Ein paar kleine Fragen zu Integralrechnung

Verwandte Themen