reell analytische Funktion

14.02.2011, 11:28

BieneMaja

reell analytische Funktion

Hallo
Folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Funktion f : (-1, 1)-->; R, $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(1-x²) \end{eqnarray*}$ im Punkt
x0 = 0 reell analytisch ist, d.h. finden Sie ein r > 0, so dass die Funktion f und
ihre Taylorreihe auf dem Intervall (-r, r) übereinstimmen.
Ich konnte bisher die Taylorreihe bestimmen, nämlich:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{1-x²}\cdot 2x=\sum\limits_{k=0}^\infty 2x^{2k+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty 2\frac{x^{2k+2}}{2k+2}=\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{x^{2k} }{k} \end{eqnarray*}$
Stimmt das bisher so, oder hab ich mich schon irgendwo verrechnet?
Den Konvergenzradius konnte ich auch noch bestimmen, der ist 1.
Aber wie zeige ich nun, dass meine Taylorreihe mit der Funktion übereinstimmt? Ich sehe gerade nicht wie ich den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{x^{2k} }{k} \end{eqnarray*}$ bestimmen kann?
Danke schonmal für eure Hilfe

14.02.2011, 11:42

Ibn Batuta

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Hallo Kommilitonin,

bei deiner Ableitung ist dir ein Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(1-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f(x)}{\dx} = \frac{-2x}{1-x^2}=\frac{2x}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

14.02.2011, 12:49

system-agent

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RE: reell analytische Funktion

Zitat:

Original von BieneMaja
Aber wie zeige ich nun, dass meine Taylorreihe mit der Funktion übereinstimmt? Ich sehe gerade nicht wie ich den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{x^{2k} }{k} \end{eqnarray*}$ bestimmen kann?

Im Inneren des Konvergenzkreises einer Potenzreihe stellt die Potenzreihe eine unendlich oft differenzierbare Funktion dar. Dass diese Funktion gerade $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein muss kommt aus der Eindeutigkeit der Reihenentwicklung.

14.02.2011, 14:21

Ibn Batuta

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Hier mein Vorschlag. Die Taylorreihe (korrekt) für diese Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} P_f(x)=-x^2-\frac 1 2 x^4-\frac 1 3 x^6-\frac 1 4 x^8 - ... = \sum_{k=1}^\infty (-1)\frac{x^{2k}}{k} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)\frac{y^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a_k:=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^*=\lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}} \right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k+1}} \right|=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}k=1 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{r^*}=\sqrt 1 =1 \end{eqnarray*}$

Dann folgt aus $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<r \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} |x-0|<1 \end{eqnarray*}$ und somit:

$\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich das Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

14.02.2011, 16:14

system-agent

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Ja, das ist OK. Du hast noch einen Schreibfehler. In der Reihe muss es $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x^8 \end{eqnarray*}$ heissen.

Nur um es ganz formal zu machen solltest du noch mit einer Induktion die Koeffizientenfolge deiner Potenzreihe bestätigen. Sprich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}=-\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade und $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade.

14.02.2011, 16:49

Ibn Batuta

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Wunderbar. Die Induktion werde ich gleich mal machen.

Ibn Batuta

15.02.2011, 09:55

René Gruber

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Zitat:

Original von system-agent
Im Inneren des Konvergenzkreises einer Potenzreihe stellt die Potenzreihe eine unendlich oft differenzierbare Funktion dar. Dass diese Funktion gerade $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein muss kommt aus der Eindeutigkeit der Reihenentwicklung.

Kennst du die Taylorreihe $\begin{eqnarray*} T(x) \end{eqnarray*}$ der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \exp\left( -\frac{1}{x^2} \right) & \;\textrm{für}\; x\neq 0 \\ 0 & \;\textrm{für}\; x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

entwickelt im Nullpunkt? Die lautet $\begin{eqnarray*} T(x)=0 \end{eqnarray*}$ und hat den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ...

------------------------

Nein, eine sichere Methode zu zeigen, dass eine Taylorreihe mit der zugrunde liegenden Funktion übereinstimmt, wäre z.B. die Betrachtung des Restgliedes in der Taylorformel zwecks Abschätzung.

15.02.2011, 10:02

system-agent

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Stimmt, da habe ich mich auch aufs Glatteis führen lassen. Danke René !

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