Reihe - divergent?

14.02.2011, 14:31	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe - divergent? Hallo Forum, ich habe die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty 3^{n} \frac{n!^{2}}{(2n)!} \end{eqnarray}$ Nun nehme ich als Minorate $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!^{2}}{(2n)!} \end{eqnarray}$ Und zeige dafür per Quotientenkriterium, dass diese divergiert. Also $\begin{eqnarray} \beta = \lim_{n \to \infty } \|\frac{(n+1)!^{2}}{(2(n+1))!} * \frac{(2n)!}{(n)!^{2}} \| = \lim_{n \to \infty } \|\frac{(n+1) * (n+1)}{2(n+1)}\| = \infty \end{eqnarray*}$ Is das richtig?? Bin mir etwas unsicher, ob ich irgendwo nen Fehler gemacht habe. Grüße und Danke Jojo
14.02.2011, 14:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe - divergent? Du hast $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!}{(2(n+1))!} \end{eqnarray}$ nicht richtig gekürzt.
14.02.2011, 14:45	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt! Merks jetzt auch... Aber wenn ichs richtig kürze, dann kommt da am Ende raus $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{(n+1)}{4n+2} \end{eqnarray}$ So müsste es richtig sein, oder? und das bringt mir ja dann nix, weil meine Minorante ja dann konvergieren würde.
14.02.2011, 15:00	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist ja die Reihe konvergent. Überprüfe doch mal mittels Quotientenkriterium für die Reihe, ob sie wirklich konvergiert. Ibn Batuta
14.02.2011, 15:00	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Quotientenkriterium ist ja (bei entsprechendem Resultat) auch geeignet, Konvergenz zu zeigen - natürlich bezogen auf die Originalreihe bzw. deren Majorante. Also kein Grund zum Verzweifeln. EDIT: Ach, sch...
14.02.2011, 15:41	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich glaube ich habs. Habe jetzt einfach direkt auf die Ausgangsreihe das Quotientenkrit. angewendet und erhalte folgendes (die Umformungen sind quasi wie oben, nur, dass nun noch ein 3^n und 3^n+1 gekürtzt werden müssen) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{3^{n+1}(n+1)!^{2}}{(2n+1)!} * \frac{(2n)!}{3^{n} * n!^{2}} \| = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ Damit habe ich gezeigt, dass die Reihe absolut konvergiert. So sollte es passen, oder? Grüße und Danke Jojo
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14.02.2011, 15:45	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch im Nenner noch einen kleinen Fehler drin. Korrekt sieht es so aus: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left\| \frac{3^{n+1}\cdot((n+1)!)^{2}}{(2(n+1))!} \frac{(2n)!}{3^{n} \cdot (n!)^{2}} \right\| \end{eqnarray}$ Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ stimmt. Ibn Batuta
14.02.2011, 15:48	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, stimmt, ist im Eifer des Gefechts passiert. Habe im Formeleditor ne Klammer vergessen, aber oben im Thread war sie noch da Grüße und Danke für die Hilfe Jojo

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