Determinante mittels Gauß

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14.02.2011, 16:07	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante mittels Gauß Hallo Leute, ich hab folgendes Verständnisproblem. Es geht um diese Matrix hier und der Determinantenberechnung: In meinem Skript steht: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ 0 & . & & \\ 0 & 0 & . & \\ 0 &0&0 & a_{nn}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} det A =a_{11} \cdot ... \cdot a_{nn} \end{eqnarray}$ Schauen wir uns das Beispiel im Skript an: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 &4 &3 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit Gauß erhält man die obere Dreiecksmatrix: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 &0 &0 & -4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det A = -16 \end{eqnarray}$ Danach bin ich auf diese Homepage hier gegangen, um das mal zu testen ob, das stimmt. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm und habe festgestellt, dass hier eine andere obere Dreicksmatrix entstehen kann: zb: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 &0 &0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt die Diagonaleinträge multipliziere bekomme ich $\begin{eqnarray} det A \neq -16 \end{eqnarray*}$ . Kann mir das einer erklären?
14.02.2011, 16:17	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie wurde ja nur auf Zeilenstufenform gebracht. Vor dieser Matrix gehören ja noch (-8) hin. Dann stimmt es. Ibn Batuta
14.02.2011, 16:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wurde einmal der Faktor 2 und dann noch mal der Faktor -4 unterschlagen (3. und 4. Zeile), das macht insgesamt -8. Bei der Bearbeitung eines lGS ist dies nicht von Belang, weil die Gleichungen gekürzt werden können. Für den Wert der Determinante sind die Faktoren aber essentiell, man muss sie beim Umformen VOR die Matrix, bzw. Determinante schreiben *-> 2(-8) = -16** mY+ EDIT: Obwohl IB schneller war, lass ich's dennoch mal so stehen.
14.02.2011, 16:27	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok Also hier steht, man muss buchführen über die Faktoren -1 (bei Vertauschungen) und c. Wie führt man denn genau buch?
14.02.2011, 16:29	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es doch mal vor. Dann lässt sich ja sehen, wie du Buch führst. Ibn Batuta
14.02.2011, 16:30	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja meine Frage, wie das gehen soll? Kann mir jemand ein Beispiel geben?
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14.02.2011, 16:47	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache den Anfang. Vorrechnen werde ich es dir nicht. Das mußt du schon selbst. Sei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 &4 &3 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \det(A)=\left\|\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 &4 &3 & 1\end{pmatrix} \right\|=... \end{eqnarray}$ Vertausche 2. und 4. Zeile und danach die 2. mit der 3. Zeile: $\begin{eqnarray} ...=(-1)\cdot(-1)\left\|\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 &4 &3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\|=\left\|\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 &4 &3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\|=... \end{eqnarray}$ Nun $\begin{eqnarray} \text{I}-\text{II} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\text{I}-\text{III} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} ...=(-1)\cdot(-1)\left\|\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\|=\left\|\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \right\|=... \end{eqnarray}$ Nun hast du die Chance dich zu beweisen. Ibn Batuta
14.02.2011, 17:06	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1\\ 0 & 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ III - II, IV - II $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 &4 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ IV + III $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &4 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ det A = -16 Also bei Vertauschen rechne ich Matrix * (-1) ok. Und wenn ich Zeilen voneinander abziehe???
14.02.2011, 17:08	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt. Ibn Batuta
14.02.2011, 17:15	G0rd0nGeKK0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich glaube ich werde es in Zukunft vermeiden Zeilen durch Zahlen durch dividieren um "1en" zu kreieren. Das verwirrt dann nur noch.

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