Inf, Sup, Max, Min

14.02.2011, 16:18

VinSander82

Inf, Sup, Max, Min

Moin ich weiss, ich lass ne Fragen hier, nur seit ihr meine eizige Hoffnung.

L: = $\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{2}{x^{2}+3 } |x \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Da hab ich InfL = 0 und sup L wie auch Max L = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

richtig? ahso und Min L existiert nicht , weil es konvergiert gegen 0

14.02.2011, 16:21

system-agent

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Was konvergiert hier? Mengen konvergieren nicht.

Ja, deine Resultat sind OK, aber ich denke mal das musst du schon jeweils noch zeigen.

14.02.2011, 16:28

VinSander82

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sorry, stimmt tun nur Reihen denke ich... L hat aufjeden Fall kein Minimum:

wenn ich die kleoinste zahl aus N einsetze bekomm ich einhalb raus, gegen unendlich läuft es gegen null

soll ich das zeichnerisch darstellen, wäre das damit gezeigt?

Asho und für M: = $\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{2}{x^{2} -3 }x \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

inf M und Min m = -1 und sup M = 0, Max M exisitiert nicht

right?

14.02.2011, 17:35

system-agent

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Zitat:

Original von VinSander82
sorry, stimmt tun nur Reihen denke ich...

Du meinst Folgen.

Zitat:

Original von VinSander82
L hat aufjeden Fall kein Minimum:

wenn ich die kleoinste zahl aus N einsetze bekomm ich einhalb raus, gegen unendlich läuft es gegen null

Das ist unverständlich und zeigt garnichts.

Zitat:

Original von VinSander82
soll ich das zeichnerisch darstellen, wäre das damit gezeigt?

Ein Skizze zeigt genauso wenig.

Du könntest zuerst mal $\begin{eqnarray*} a_x:=\frac{2}{x^{2}+3 } \end{eqnarray*}$ setzen. Nun ist das eine Folge und die Menge ist Menge aller Folgenglieder.

$\begin{eqnarray*} a_0=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=\frac{2}{13} \end{eqnarray*}$
usw.

Ich glaube ich habe mich mit dem Maximum vertan Forum Kloppe

.

Du könntest zeigen dass die Folge für $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist. Das liefert dir eine Aussage bzgl. des Maximums.

14.02.2011, 20:02

VinSander82

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Zitat:

Original von system-agent
[quote]Original von VinSander82
sorry, stimmt tun nur Reihen denke ich...

Du meinst Folgen.

Zitat:

Original von VinSander82
L hat aufjeden Fall kein Minimum:

wenn ich die kleoinste zahl aus N einsetze bekomm ich einhalb raus, gegen unendlich läuft es gegen null

Das ist unverständlich und zeigt garnichts.

Zitat:

.

Du könntest zeigen dass die Folge für $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist. Das liefert dir eine Aussage bzgl. des Maximums.

wieso kommt da bei $\begin{eqnarray*} a_{0} = - \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ sollte doch eigentlich $\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ sein

14.02.2011, 22:43

system-agent

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Ich habe das erst jetzt realisiert, dass du hier zwei Mengen betrachtest.

Also die eine Menge heisst $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ und ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} L:=\left\{\frac{2}{x^2+3}\,\,:\,\,x\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$
und die andere Menge heisst $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} M:=\left\{\frac{2}{x^2-3}\,\,:\,\,x\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ .
Die sehen auch ziemlich ähnlich in der Definition aus Augenzwinkern

.

Nunja, um $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, untersuche die Folge $\begin{eqnarray*} a_x:=\frac{2}{x^2+3} \end{eqnarray*}$ .
Um $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, untersuche die Folge $\begin{eqnarray*} b_x:=\frac{2}{x^2-3} \end{eqnarray*}$ .

Es ist
$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{2}{7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
usw.
Zeige nun exakt das, was du hier siehst: Diese Folge ist monoton fallend und hat damit als grösstest Element natürlich $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt etwas für das Supremum bzw Maximum.
Zeige, dass die Folge gegen Null konvergiert aber $\begin{eqnarray*} a_x>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Das sagt dir etwas über das Infimum bzw das Minimum.

Ausserdem ist
$\begin{eqnarray*} b_0=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_4=\frac{2}{13} \end{eqnarray*}$
usw.
Zeige hier, dass die Folge monoton fallend ist für $\begin{eqnarray*} x\geq2 \end{eqnarray*}$ und wieder die Konvergenz gegen Null.

21.02.2011, 17:26

VinSander82

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ja genai so mient ich's und so hab ich 's auch, wenn ich mit $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ arbeiten würde..

ok bei der zweiten Menge heisst es dann ja , dass inf und min M = -1 und bei Max M = 2.

Ist dann das Sup M= auch gleich 2 ?

22.02.2011, 10:05

system-agent

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Ja, das Supremum ist auch 2. Das Supremum ist die kleinste aller möglichen oberen Schranken. Diese kann oder kann auch nicht zu der fraglichen Menge gehören. Falls diese aber auch zu der fraglichen Menge gehört, dann heisst das Supremum zusätzlich auch Maximum.

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