Anfangswertproblem

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15.02.2011, 10:13	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Meine Frage: Hallo, ich hab folgende Aufgabe bekommen: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem. Geben Sie zunächst die allgemeine Lösung an. y''+2y'-8y=0 Anfangsbedingungen: y(0)=4, y'(0)=2. Meine Ideen: Ich habe leider keinerlei Ahnung wie man das macht
15.02.2011, 10:16	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bringst du dir DGLs selbst bei? Hast du schon mal etwas ähnliches gerechnet? Und - als letzte Frage - ist das wirklich Schulmathe?
15.02.2011, 10:23	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das im ersten Semester und das wurde bei uns nur ganz kurz und knapp behandelt und ich hab es überhaupt nicht verstanden.
15.02.2011, 10:40	kleines pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst die charakteristische Gleichung
15.02.2011, 10:43	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich die selber herausfinden, oder müsste die in der aufgabe stehen?
15.02.2011, 10:46	kleines pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die mußt du selber finden, aber es ist super einfach
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15.02.2011, 10:58	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich weiß, dass man die Funktion 2 mal ableitet muss und y(0)=4 und y'(0)=2 müsste y=ax^2+2x+4 oder bin ich da jetzt falsch?
15.02.2011, 11:03	kleines pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du die charakteristische Gleichung nicht kennst, mußt du eine Löung "raten" y=A*e^ax. Also das ableiten und einsetzen
15.02.2011, 11:03	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht das charakteristische Polynom. Schau dir mal das an, dann dürfte es schon klarer werden. Desweiteren verschiebe ich den Thread in die Hochschulanalysis.
15.02.2011, 11:35	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schön für eure hilfe das charakteristische polynom ist $\begin{eqnarray} \alpha ^2+2\alpha -8=0 \end{eqnarray}$ und allgemein ist $\begin{eqnarray} y=e^{\alpha x} <br /> y'=\alpha e^{\alpha x} <br /> y''=\alpha^2 e^{\alpha x} <br /> \end{eqnarray}$ da ich weiß das y(0)=4 ist muss ich $\begin{eqnarray} 4=e^{\alpha 0} \end{eqnarray}$ und bei y'(0)=2 $\begin{eqnarray} 2=\alpha e^{\alpha 0} \end{eqnarray}$ und muss ich das ganze nach alpha auflösen, oder?
15.02.2011, 11:58	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Anfangswerte spielen erst später eine Rolle. Deine Ableitungen sind korrekt, setzte sie nun in deine DGL y'' + 2y' - 8 y = 0 ein und finde so das Alpha heraus. (Mit deinem Ansatz bekämst du sowieso nichts heraus, da die Gleichung $\begin{eqnarray} 4 = e^{\alpha \cdot 0} \end{eqnarray}$ für kein Alpha erfüllt ist.
15.02.2011, 12:23	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also wenn ich das eingesetzt habe und nach alpha aufgelöst habe, dann bekomme ich : $\begin{eqnarray} <br /> \alpha ^2 e^{\alpha x} +2\alpha e^{\alpha x} +8e^{\alpha x} =0<br /> e^{\alpha x}(\alpha ^2 +2\alpha +8) =0 <br /> e^{\alpha x} kann nie Null sein, also<br /> \alpha ^2 +2\alpha +8 =0 <br /> pq-Formel<br /> \alpha_{1,2} =-\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-8 }<br /> \alpha_{1,2} =-1\pm \sqrt{-7} =-1\pm \sqrt{7}i <br /> \alpha_{1}=-1+ \sqrt{7}i <br /> \alpha_{2}=-1- \sqrt{7}i <br /> \end{eqnarray}$ jetzt hab ich alpha und was mache ich damit jetzt?
15.02.2011, 12:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal muss es stimmen. In der DGL steht - 8y hinten, du hast + geschrieben. Außerdem hattest du das charakteristische Polynom oben richtig (das ist das, was in der Klammer steht). Also noch mal rechnen. Übrigens: Du bekommst für das Alpha nur reelle Zahlen heraus.
15.02.2011, 12:40	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
upps, das charakteristische polynom ist also eigentlich immer das, welches ich mit null gleichsetzen muss um alpha zu bekommen und wenn ich die ableitungen einsetze und das e ausklammere bekomme ich immer das charakteristische polynom, ist das richtig? $\begin{eqnarray} <br /> \alpha_{1,2} = -1\pm \sqrt{1+8} <br /> \alpha_{1,2} =-1\pm \sqrt{9} <br /> \alpha_{1} =2<br /> \alpha_{2} = -4 \end{eqnarray}$
15.02.2011, 12:50	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. So, du hast nun die Alphas ausgerechnet. Du weißt nun: $\begin{eqnarray} y_1 = e^{2x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 = e^{-4x} \end{eqnarray}$ sind Lösungen der DGL. Es gibt einen Satz, der besagt, dass auch Multiplikation mit einer Zahl und addieren zweier Lösungen eine Lösung ergibt. Man nennt das dann die allgemeine Lösung. Bei dir heißt das: $\begin{eqnarray} y = c_1 \cdot y_1 + c_2 \cdot y_2 = y = c_1 \cdot e^{2x} + c_2 \cdot e^{-4x} \end{eqnarray}$ ist die allgemeine Lösung. So, und jetzt schreibe y(0) = 4 und y'(0) = 2 aus und rechne die c_i aus.
15.02.2011, 13:19	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also bekomme ich für $\begin{eqnarray} <br /> y(0)=c_{1} e^{-40} +c_{2} e^{20} =4<br /> y'(0)=-4c_{1} e^{-40} + 2c_{2} e^{20} =2<br /> \end{eqnarray}$ da e^0=1 ist steht dort über all nur noch $\begin{eqnarray} <br /> y(0)=c_{1} +c_{2} =4 \Rightarrow c_{1} =4-c_{2} <br /> \end{eqnarray}$ c_{1} in y' eingestetzt $\begin{eqnarray} <br /> -4(4-c_{2}) + 2c_{2} =2<br /> -16-4c_{2}+2c_{2}=2<br /> -2c_{2}=-14<br /> c_{2}=7<br /> \end{eqnarray}$ c_{2} in y eingesetzt $\begin{eqnarray} <br /> c_{1}+7=4<br /> c_{1}=-3<br /> <br /> \end{eqnarray}$
15.02.2011, 13:40	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nun die c_i vertauscht, ich habe sie anders herum benutzt, aber das ist egal. Du hast einen Vorzeichenfehler drin. $\begin{eqnarray} -4(4-c_2) \neq -16 - 4c_2 \end{eqnarray}$
15.02.2011, 13:50	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ohja da hab ich mich ein wenig verrechnet. ich komme da jetzt auf: -4(4-c2)+2c2=-16+4c2+2c2=2 6c2=18 c2=3 c1=1
15.02.2011, 14:00	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
setzte ich jetzt c1 und c2 in y=c1y1+c2y2 ein und berechne dann die ableitungen und setzte diese dann in y''+2y'-8y=0? wenn ja, dann bekomme ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} -80e^{-4x}+132e^{2x} =0 \end{eqnarray}$
15.02.2011, 14:12	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du nur machen, um dein Ergebnis zu überprüfen. Vielleicht hast du deine c_i in meine allgemeine Lösung eingesetzt? Dann wird's falsch, du hast die beiden Koeffizienten gerade vertauscht. Wenn du du c1 und c2 einsetzt, ableitest und in die DGL einsetzt, muss gerade 0 = 0 herauskommen, immerhin soll y diese Gleichung erfüllen.
15.02.2011, 14:23	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hab ich. ich höre also auf wenn ich c1 und c2 habe? um das abzuschließen gebe ich dann nur noch die allgemeine lösung mit den c_i an, da die gleichung dann die differentialgleichung erfüllt, ist das so richtig?
15.02.2011, 14:36	AhnungslosinMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
da ich jetzt für ein wenig längere zeit weg bin, bedanke ich mich für diese sehr schnell und ausführliche hilfe. ich hab nun verstanden wie man eine solche aufgabe löst. ich bin wirklich sehr dankbar für diese ausführliche hilfe

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