Hardcore Gleichungssystem

28.11.2006, 15:03

el_studente

Hardcore Gleichungssystem

Hallo,

bei der Berechnung von Extremwerten einer Funktion f(x,y,z) mit zwei Nebenbedingungen bin ich auf folgendes Gleichungssystem gestoßen:

(1) $\begin{eqnarray*} yz=\lambda 2x + \mu \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} xz=\lambda 2y + \mu \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} xy=\lambda 2z + \mu \end{eqnarray*}$
und die beiden Gleichungen für die Nebenbedingungen
(4) $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray*}$
(5) $\begin{eqnarray*} x+y+z=0 \end{eqnarray*}$

Lambda und My sind mir wurst!
Die x,y,z sind die Koordinaten der Extrempunkte / des Extrempunktes. Diese x,y,z sind nicht gefragt, sondern lediglich die Werte der Extrema.

Mein Taschenrechner hat jeweils 3 Minima und Maxima gefunden.

Ein dickes DANKE vorweg!

28.11.2006, 15:27

Harry Done

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RE: Hardcore Gleichungssystem
würde jeweils (1) und (2) bzw. (2) und (3) addieren und dann mit (5) zu einer Variablen auflösen.

$\begin{eqnarray*} (1)+(2) -> z(y+x)=\lambda 2 (x+y)+2\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)+(3) -> x(z+y)=\lambda 2 (y+z)+2\mu \end{eqnarray*}$

jetzt einmal $\begin{eqnarray*} x+y=-z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z+y=-x \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann bekommt man doch zwei quadratische Gleichungen, die nur von eine Variablen abhängig sind. Wenn man $\begin{eqnarray*} x(\lambda , \mu) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(\lambda , \mu) \end{eqnarray*}$ gefunden hat, wieder in (5) einsetzen und dann y bestimmen.

Gruß Jan

28.11.2006, 17:07

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Aus (4) und (5) ergibt sich

$\begin{eqnarray*} -1 = (x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2) = 2(xy+yz+zx) \end{eqnarray*}$ .

Die Summe von (1) bis (3) ergibt hingegen

$\begin{eqnarray*} xy+yz+zx = 2\lambda(x+y+z)+3\mu = 3\mu \end{eqnarray*}$

Der Vergleich ergibt $\begin{eqnarray*} \mu=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . (1)-(2) ergibt nun

$\begin{eqnarray*} (y-x)z = 2\lambda (x-y) \end{eqnarray*}$

Im Fall o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ hat das $\begin{eqnarray*} z=-2\lambda \end{eqnarray*}$ zur Folge...

Ok, ich verrate ja nicht alles. Vielleicht hilft das ja schon so erstmal weiter.

P.S.: Hätte übrigens auch nicht geschadet, wenn du kurz erwähnt hättest, dass es um die Lagrange-Funktion

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z;\lambda,\mu) = xyz + \lambda(x^2+y^2+z^2-1) + \mu(x+y+z) \end{eqnarray*}$

geht. smile

28.11.2006, 18:22

el_studente

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Ja, es geht um genau diese Lagrange Funktion.
Mein Verständnis für deine Erklärung geht aber schon gleich zu Beginn baden, denn

Zitat:

Aus (4) und (5) ergibt sich
$\begin{eqnarray*} -1=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)...... \end{eqnarray*}$

Wieso steht da ein Quadrat an der ersten Klammer?

Zitat:

Die Summe von (1) bis (3) ergibt hingegen ....... $\begin{eqnarray*} =3\mu \end{eqnarray*}$

Leuchtet mir ein. Aber wieso ist das gleich $\begin{eqnarray*} =3\mu \end{eqnarray*}$ ?

28.11.2006, 18:29

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Zitat:

Original von el_studente
Ja, es geht um genau diese Lagrange Funktion.
Mein Verständnis für deine Erklärung geht aber schon gleich zu Beginn baden, denn

Zitat:

Aus (4) und (5) ergibt sich
$\begin{eqnarray*} -1=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)...... \end{eqnarray*}$

Wieso steht da ein Quadrat an der ersten Klammer?

Wieso nicht? Ich rechne eben einfach

$\begin{eqnarray*} (x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2) \end{eqnarray*}$

aus - einmal algebraisch ausmultipliziert (nach rechts) und das andere Mal einfach $\begin{eqnarray*} x+y+z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt (nach links). Und $\begin{eqnarray*} 0^2-1=-1 \end{eqnarray*}$ ist bei mir immer noch gleich -1.

28.11.2006, 19:05

el_studente

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Also hätte da auch
$\begin{eqnarray*} -1=(x+y+z)^{625}-(x^2+y^2+z^2) \end{eqnarray*}$ stehen können. Du hast aber ^2 gewählt, weil dann der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2(xy+yz+zx) \end{eqnarray*}$ besonders nützlich für den nächsten Schritt ist.
Das bringt mich nochmals zu der Frage, warum $\begin{eqnarray*} xy+yz+zx=2\lambda (x+y+z)+3\mu \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 3\mu \end{eqnarray*}$ ist?

28.11.2006, 19:27

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Gleichung (5), also $\begin{eqnarray*} x+y+z=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, mehr nicht.

28.11.2006, 20:14

el_studente

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Ok, habe Deine Ausführungen nachvollzogen und bin bereit für die nächsten Schritte.
Wir waren bei $\begin{eqnarray*} z=-2\lambda \end{eqnarray*}$ .
Man könnte ja nun ebenso schließen, dass (1)-(3) $\begin{eqnarray*} y=-2\lambda \end{eqnarray*}$ und (2)-(3) $\begin{eqnarray*} x=-2\lambda \end{eqnarray*}$ ergibt, was nätürlich Unsinn ist.

Also wie gehts weiter?

28.11.2006, 20:25

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Da gibt's verschiedene Möglichkeiten - z.B. (1)+(2):

$\begin{eqnarray*} (x+y)z =2\lambda (x+y) + 2\mu \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} \mu=-\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x+y=-z \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} -z^2 = -2\lambda z - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Und da schließlich noch $\begin{eqnarray*} z=-2\lambda \end{eqnarray*}$ eingesetzt, ergibt sich eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

28.11.2006, 21:53

Dlopoel

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Auch wenn bei dieser Aufgabe wohl die Lagrangesche Multiplikatorregel geübt werden soll, hier ein geometrischer Lösungsvorschlag, der wegen der speziellen Form der Nebenbedingungen naheliegt.

Die Einheitskugel $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \end{eqnarray*}$ und die Ursprungsebene $\begin{eqnarray*} x + y + z = 0 \end{eqnarray*}$ schneiden sich in einem Kreis um den Ursprung $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ vom Radius 1. Dieser Kreis wird nun parametrisiert. Wir besorgen uns dazu zwei orthogonale Richtungsvektoren der Ebene. Da kann man als erstes

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} \, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nehmen (der Normierungsfaktor erzwingt die Länge 1, Kreisradius!). Den andern bekommt man durch das Kreuzprodukt mit einem Normalenvektor der Ebene:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Normierung hat man

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_2 = \sqrt{\frac{1}{6}} \, \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kreis hat also die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \ = \ \cos{t} \cdot \vec{e}_1 + \sin{t} \cdot \vec{e}_2 \, , \ \ - \pi < t \leq \pi \end{eqnarray*}$

Somit gilt

$\begin{eqnarray*} xyz = \frac{\sqrt{6}}{18} \left( 3 - 4 \sin^2{t} \right) \, \sin{t} = \frac{\sqrt{6}}{18} \, \sin{(3t)} \, , \ \ - \pi < t \leq \pi \end{eqnarray*}$

Und da man die Sinusfunktion gut kennt, kann man jetzt sämtliche Minima und Maxima unmittelbar ablesen.

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