Maximum Likelihood verschobene Exponentialverteilung

15.02.2011, 12:32

Smoove

Maximum Likelihood verschobene Exponentialverteilung

Meine Frage:
Hey Leute,
ich hab folgende Aufgabe an der ich jetzt schon seid zwei Tagen sitzte aber irgendwie auf den Schlauch stehe.
Folgende Verteilungsfunktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} F_{t}(x)= 1 - e^{-(x-t)} falls x\geq t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{t}(x)=0 sonst \end{eqnarray*}$

Es soll ermittelt werden:
a) Der Maximum-Likelihood-Schätzer $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} teta(t)=t \end{eqnarray*}$
b) Die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$
c) Bias und mittlerer quadratischer Fehler von $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$
d) Ist die Folge der Schätzer $\begin{eqnarray*} T_{1},T_{2},... \end{eqnarray*}$ asymptotisch erwartungstreu für $\begin{eqnarray*} teta(0)=0 \end{eqnarray*}$

Hinweis: es soll für c) und d) die Verteiung der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} T_{n}-t \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Meine Ideen:
ich erhalte für die Dichte $\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=e^{-(x-t)} \end{eqnarray*}$
und bilde dann: $\begin{eqnarray*} L(t)=e^{-(x_{1}-t)}\times e^{-(x_{2}-t)} \times...\times e^{-(x_{n}-t)} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} lnL(t)=nt-\sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray*}$

und hier komm ich dann nicht mehr weiter:
die 1.Ableitung von $\begin{eqnarray*} lnL^{,}(t)=n \end{eqnarray*}$
und die 2.Ableitung $\begin{eqnarray*} lnL^{,,}(t)=0 \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das?

15.02.2011, 14:15

Mazze

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Der Ansatz über die Loglikelihood wird dich hier nicht weiter bringen. Dein Problem ist, dass Du denn Fall wo die Verteilungsfunktion 0 wird überhaupt nicht beachtest. Die Dichte ist :

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = \begin{cases}e^{-(x - t)} & x \geq t \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt schau dir mal die Likelihoodfunktion

$\begin{eqnarray*} L(t) = \prod_{i=1}^n f_t(x_i) \end{eqnarray*}$

genau an, wann kann diese Funktion überhaupt ungleich 0 sein? Und was sagt dir das über das Maximum?

15.02.2011, 15:48

Smoove

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Danke Mazze für die schnelle Antwort

d.h. also $\begin{eqnarray*} L(t)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt nur wenn alle $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[t;+\infty \right] \end{eqnarray*}$ liegen.

für das Maximum heißt das $\begin{eqnarray*} x-t\geq 0 \end{eqnarray*}$ , somit würde $\begin{eqnarray*} e^{-(x-t)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{i}=t \end{eqnarray*}$ maximal.

Was heißt das dann für meinen ML Schätzer?

Ist der dann praktisch die kleinste Realisation von $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ ?

Sprich $\begin{eqnarray*} T_{n}=min\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_{i}\geq t \end{eqnarray*}$ ?

15.02.2011, 16:12

Mazze

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Zitat:

d.h. also $\begin{eqnarray*} L(t)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt nur wenn alle $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[t;+\infty \right] \end{eqnarray*}$ liegen.

Etwas ungünstig formuliert, aber richtig. Die Funktion L hängt von t ab, also ist

$\begin{eqnarray*} L(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} t \leq \min_{i}x_i \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ist der dann praktisch die kleinste Realisation von $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ ?

So siehts aus! Das muss aber ordentlich begründet werden. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} L(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \leq \min_i x_i \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend. Daher ist genau der Rand das Maximum.

edit

Bei

Zitat:

Sprich $\begin{eqnarray*} T_{n}=min\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_{i}\geq t \end{eqnarray*}$ ?

kannst Du den Teil $\begin{eqnarray*} x_i \geq t \end{eqnarray*}$ weglassen. Der tut nichts zur Sache.

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