Matrizen - Wofür benötigt man sie und ihre Unterkapitel im Alltag?

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Matias Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen - Wofür benötigt man sie und ihre Unterkapitel im Alltag?
Meine Frage:
Hallo,

Ich absolviere bald Abitur, und mein Spezialgebiet in Mathematik ist das Thema Matrizen. Das Rechnen mit Ihnen beherrsche ich recht gut, nur wollte ich euch fragen ob ihr mir eventuell helfen könntet, da ich mir nicht so recht erklären kann wofür man folgende Unterkapitel von den Matrizen im Alltag wirklich benötigen könnte:

- Determinanten
- Transponierte Matrizen
- Den Rang einer Matrix
- Inverse Matrizen

Meine Ideen:
Also die Determinante ist ja eigentlich nur ein bestimmter Zahlenwert der die Matrix beschreibt, oder? Aber für was ist das relevant? Nur beim Rechnen oder gibt sie sonst auch einen Sinn?

Die transponierte Matrix wird, denke ich, auch nur zum Rechnen verwendet?

Mit dem Rang einer Matrix wird, glaub ich, nicht mehr weiter gerechnet sondern nur mehr als Ergebnis oder was auch immer angegeben. Allerdings für mich fraglich wofür man den Wissen sollte?

Und inverse Matrizen sind auch nur zum Rechnen da, oder?
Also halt A^1 * A = E...

Stimmt das soweit? Wäre sehr dankbar wenn ihr mir etwas klarer machen könntet wofür man diese Sachen denn wirklich gebraucht. Danke :-)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Wofür benötigt man sie und ihre Unterkapitel im Alltag?
Das wäre alles unnötige Tierchenquälerei, wenn alles nur einfach so zum Rechnen da wäre und keinerlei andere Bedeutung hätte.

Die Determinante ist das Volumen des von den Vektoren eingeschlossenen Spats.

Jede Matrix beschreibt eine Abbildung, durch den Rang einer Matrix kann man Aussagen über das Bild treffen, besser über die Dimension des Bildes, ebenso liefert die Transponierte Zeilenstufenform eine Basis des Bildes.

Du kannst dir ja mal Gedanken darüber machen, welche Abbildung die Inverse einer Matrix beschreibt.

Ganz so nutzlos, wie du das darstellst ist also nicht Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Wofür benötigt man sie und ihre Unterkapitel im Alltag?
Zitat:
Original von Matias
Meine Frage:
... da ich mir nicht so recht erklären kann wofür man folgende Unterkapitel von den Matrizen im Alltag wirklich benötigen könnte


Verwendest du eine bekannte Suchmschine? Augenzwinkern
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was für ein Alltag meinst du denn? Beim Brötchenkauf beim Bäcker brauchst du die allermeiste Mathe nicht und schon garkeine Matrizen.
Matias Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Vielen Dank Igrizu. In vermute dass die Inverse Matrix ( also A^-1) die negative Abbildung der Matrix A beschreibt? Allerdings müsste dann ja, wenn sie die negative Abbildung der Matrix A wäre, -1 und nicht 1 rauskommen, da ja z.b. 3/-3 auch -1 wäre.
Bitte stellt mich richtig wenn ich hier völlig auf dem Holzweg daherkomme smile


Und ja, dass man Matrizen im Allgemeinen schon für viele Dinge braucht, ist mir schon klar. Die Frage hat sich v.a. auf die speziellen Matrizenformen bezogen.
Matrizen generell braucht ja man für Tabellenverarbeitung, Beschreibung von Netzwerken, in der Informatik und zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, oder? Fallen euch noch mehr Anwendungsbereiche ein? smile

tigerbine: Danke für den Link! smile

LG
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du denn mit "negativer Abbildung"?

Wenn A eine invertierbare Matrix ist, so ist die Abbildung die sie beschreibt bijektiv, also das Bild hat die gleiche Dimension wie das Urbild, damit existiert eine Umkehrabbildung, diese wird durch die Inverse Matrix beschrieben, denn es gilt:

.

In Worten: Bildet eine invertierbare Matrix A einen Vektor x auf einen Vektor b ab, so bildet die Inverse der Matrix den Vektor b auf den Vektor x ab.

Es gibt noch viele Anwendungsbereiche, die du noch nicht angeführt hast, zum Beispiel in der Architektur und der Ingeneurik, in den Wirtschaftswissenschaften und in der Physik, fast überall, wo gerechnet wird sind lineare Abbildungen von enormer Bedeutung, in einigen Wissenschaften geht man sogar so weit, nicht-lineare Abbildungen zu linearisiseren um sie mit einer Matrix darszustellen, so zum Beispiel in den Wirtschaftswissenschaften die Exponentialfunktion.
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade das Lösen von linearen Gleichungssystemen ist ein sehr wichtiger Punkt. Zum Beispiel führen Techniken um (lineare) partielle Differentialgleichungen zu lösen sehr gern auf riesige lineare Gleichungssysteme.
Und um ein Beispiel zu geben: du kannst jeden Abend die Lösung eines solchen Systems bewundern, nämlich im Wetterbericht.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Matrizen kann man auch in der Stochastik verwenden, z.B. um Wanderungen zu beschreiben. Z.B.: Jeden Monat wandern x% der Kunden vom Anbieter A nach B, y% von B nach C usw. Dies kann man in einer Matrix darstellen, so dass jeweils die Multiplikation des Vektors der gegenwärtigen Verteilung mit der Wanderungsmatrix den Verteilungsvektor der nächsten Periode angibt.

Dann kann man sich fragen: Wie werden die Marktanteile nach n Perioden aussehen? Kann ich dafür einen geschlossenen Ausdruck finden, ohne die Matrix jedes Mal dafür n-mal mit sich selbst multiplizieren zu müssen? Ferner kann man sich fragen, ob sich irgendwann ein Gleichgewicht einstellt. D.h. konvergiert die Wanderungsmatrix^n, wenn man n wachsen lässt? (Stichwort Diagonalisierung, Eigenwerte, Eigenvektoren. Hier sind Determinanten sehr wichtig.)

So kann man z.B. über Matrizendiagonalisierung auch einen geschlossenen Ausdruck für die Fibonacci-Folge finden. Fibonacci-Folgen findet man u.a. in einigen biologischen Zusammenhängen.

In der Analysis spielt die Hesse-Matrix bei Optimierungsproblemen nach mehreren Variablen eine entscheidende Rolle. Dies findet auch Anwendung z.B. in der Wirtschaft. Hier kann man auch die Determinante gebrauchen.

Wie bereits gesagt: Die Determinante gibt Auskunft über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen. Anhand der Cramerschen Regel kann man über die Determinante die Lösung einer einzelnen Variable in einem LGS angeben, ohne alle anderen auszurechnen. Auch wenn dies oft nicht weniger Rechenaufwand bedeutet.

edit: Aber man muss dazusagen, dass die Mathematik nicht den Anspruch hat, die Welt zu erklären. Bestimmte Teile der Mathematik werden zwar von anderen Wissenschaften verwendet, aber letztlich ist die Mathematik selbst keine Naturwissenschaft und daher ist es eigentlich nicht angebracht, sie zu sehr danach zu bewerten, inwieweit sie die Welt beschreibt. Jedoch ist allein die Fähigkeit zum logischen Denken und zur Lösung von Problemen, die einen die Mathematik lehrt wie keine zweite Wissenschaft, von absolut essentieller Bedeutung in fast allen Bereichen - und die Verwendung mathematischer Problemstellungen ist nicht wegzudenken aus der Entwicklung dieser Fähigkeit, egal ob man die Aufgabenstellungen auf reale Probleme übertragen kann oder nicht.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Wofür benötigt man sie und ihre Unterkapitel im Alltag?
Zitat:
Original von lgrizu
Das wäre alles unnötige Tierchenquälerei, wenn alles nur einfach so zum Rechnen da wäre und keinerlei andere Bedeutung hätte.


Dieser Behauptung muss ich heftig widersprechen.

Mathematik folgt keinem (äußeren) Zweck!

Man kann Zahlen in ein rechteckiges Schema schreiben? Fein, dann machen wir das. Einfach so, warum denn nicht. Lasst uns dieses neue Ding eine "Matrix" nennen.
Und nun lassen wir uns ein paar Regeln einfallen, wie man zwei Matritzen miteinander verknüpft. Und ein paar andere Regeln, wie man aus einer Matrix eine andere Matrix machen kann.
Dann kann man noch untersuchen, ob diese Transformationen, die wir erfunden haben, Ähnlichkeiten mit anderen Transformationen haben. Einige unserer frisch erfundenen Verknüpfungsvorschriften werden vielleicht dem Assoziativgesetz gehorchen, andere dem Kommutativgesetzt usw. Daraus wiederum kann man in bestimmten Fällen ableiten, dass Matritzen mit bestimmten Verknüpfungen Gruppen oder vielleicht sogar Körper bilden. Davon inspiriert kann man wieder neue Dinge erfinden.

Das ist Mathematik!

Genau auf diese Weise entstehen immer neue Objekte mit denen man Mathematik treiben kann: Man nennt sie z.B. "surreale Zahlen" oder "Quaternionen" und mit den meisten dieser Dinge kann man in der realen Welt, in der wir leben, genau gar nichts anstellen.

Manchmal aber stellt sich heraus, dass eines dieser zweckfrei erfundenen Objekte Eigenschaften hat, mit denen man etwas aus der realen Welt beschreiben kann. Mit Matritzen lassen sich beispielsweise Drehungen von Gegenständen beschreiben, daher verwendet jedes Computerprogramm, das 3D-Grafiken darstellt, Matritzen, um die Drehung eines Objekts zu berechnen.
Und wenn zwei Drehungen hintereinander auszuführen sind, dann beschreibt das Matritzenprodukt der beiden Dreh-Matritzen genau die resultierende Drehung.
Und mit einer Inversen Matrix kann man eine Drehung wieder zurücknehmen.

Das alles sind Anwendungen von mathematischen Objekten, in diesem Fall von Matritzen. Aber Matritzen (und surreale Zahlen und Quaternionen) würden auch existieren, wenn es dafür keine Anwendungen gäbe. Und es ist in Wahrheit tatsächlich so, dass die meisten mathematischen Objekte in der realen Welt alsolut keine Bedeutung haben.

Das mit der Bedeutung ändert sich manchmal auch mit der Zeit. So galt z.B. vor 50 Jahren noch die Zahlentheorie als eines der abgehobensten und wirklichkeitsfernsten Teilgebiete der Mathematik, und das, obwohl dieser Bereich der Mathematik einer der ältesten ist. Kaum jemand konnte sich im Jahr 1960 vorstellen, dass Dinge wie Pseudoprimzahlen oder Operationen auf Restklassen zu irgend etwas gut ein könnten. Aber heute bilden diese mathematischen Objekte die Grundlage für fast alle Verschlüsselungsverfahren im Internet.

Die Frage, wofür bestimmte Unterkapitel des Themas "Matritzen" gut sind, stellt sich einem Mathematiker daher gar nicht. Man kann diese Dinge erfinden und widerspruchsfrei definieren, und damit haben sie bereits ihre volle Existenzberechtigung erhalten.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wo man Matrizen braucht? In der Elektrotechnik. Fast alle Wissenschaften basieren auf die schöne Mathematik. Schön deswegen, weil das die einzige bewiesene Wissenschaft ist.
Denke ich smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen - Wofür benötigt man sie und ihre Unterkapitel im Alltag?
Zitat:
Original von Hubert1965
Die Frage, wofür bestimmte Unterkapitel des Themas "Matritzen" gut sind, stellt sich einem Mathematiker daher gar nicht. Man kann diese Dinge erfinden und widerspruchsfrei definieren, und damit haben sie bereits ihre volle Existenzberechtigung erhalten.

Ja, man kann das tatsächlich so sehen, zumal es ja auch den sog. "Erkenntnisvorlauf in der Mathematik" gibt, d.h., dass die Dinge im Detail und ihrer selbst willen studiert werden und erst viel später dann auch "handfeste" Anwendungen dafür gefunden werden... Kegelschnittsuntersuchungen durch die Griechen und Keplersche Gesetze oder Faktorisierungsverfahren und RSA wären ein paar Stichworte dazu...

In einem Punkt muss ich aber dann doch widersprechen: "Matritzen" wurden bisher weder studiert, noch wurden irgendwelche Anwendungen dafür gefunden... Big Laugh
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