Nullfolge

15.02.2011, 14:41

paule1337

Nullfolge

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n^{3} } \end{eqnarray*}$

jetzt soll ich mithilfe des epsilon-Kriterium zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

so bin ich angefangen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0\Rightarrow | \frac{1}{n^{3} }- 0 | \Rightarrow \frac{1}{n^{3}} \leq e \Rightarrow n\geq \sqrt[3]{\frac{1}{e} } \end{eqnarray*}$

wie muss ich nun weiter machen?

15.02.2011, 14:42

Cel

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Gar nicht, du bist fertig. Augenzwinkern

Warum eigentlich? Lies dir dazu noch mal die Definition einer Nullfolge durch.

15.02.2011, 14:46

Armada

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RE: Nullfolge
Cel hat recht, aber ... . Bevor Du $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ bestimmst, schätze vielleicht noch durch $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ab. Das kannst Du in anderen Fällen gut brauchen.

15.02.2011, 18:50

paule1337

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ok, danke

so jetzt soll ich ein zweites mal zeigen, dass die Folge a(n) eine Nullfolge ist, indem ich die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Folgen anwende.

Was sind das für Regeln?

Reicht es einfach zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3} } = 0 \end{eqnarray*}$ ist?

16.02.2011, 08:51

klarsoweit

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RE: Nullfolge
Nein. Du zerlegst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ in ein Produkt aus 3 Faktoren. Welche könnten das wohl sein? Augenzwinkern

17.02.2011, 09:45

paule1337

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hmmmm vielleicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\cdot n\cdot n} \end{eqnarray*}$

und wie gehts nun weiter?

bzw was kann man jetzt sehen?

17.02.2011, 10:03

klarsoweit

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Nun ja, noch schöner ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \cdot \frac 1 n \cdot \frac 1 n \end{eqnarray*}$ . smile

Was kann man nun über die Konvergenz der einzelnen Faktoren sagen?

17.02.2011, 10:14

paule1337

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für n--> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert jeder Faktor gegen 0.

17.02.2011, 10:37

Mystic

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RE: Nullfolge

Zitat:

Original von paule1337
so bin ich angefangen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0\Rightarrow | \frac{1}{n^{3} }- 0 | \Rightarrow \frac{1}{n^{3}} \leq e \Rightarrow n\geq \sqrt[3]{\frac{1}{e} } \end{eqnarray*}$

wie muss ich nun weiter machen?

Du soltest das nicht nur für $\begin{eqnarray*} \epsilon =e=2.718... \end{eqnarray*}$ zeigen, sondern für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ... Aber keine Angst, du kannst deinen Beweis dafür fast wortwörtlich übernehmen.... Big Laugh

17.02.2011, 10:43

paule1337

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ne das hatte ich auch nicht vor, ich wusste nur nicht wie man epsilon schreibt, deswegen hab ich einfach den Buchstaben e genommen Augenzwinkern

17.02.2011, 11:58

Mystic

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Zitat:

Original von paule1337
ne das hatte ich auch nicht vor, ich wusste nur nicht wie man epsilon schreibt, deswegen hab ich einfach den Buchstaben e genommen Augenzwinkern

Ja, dachte ich mir... Augenzwinkern

Übrigens habe ich's oben auch falsch geschrieben, richtig geht es so $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ (LaTeX-Notation siehst du mit mouseover)...

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