Ebene halbiert Zwischenraum zweier Ebenen

15.02.2011, 16:51

MatheTyp20

Ebene halbiert Zwischenraum zweier Ebenen

Meine Frage:
Gegeben waren 2 Ebenen:
a: 6x+9y-2z-6=0
b: 2x+y-2z+2=0

Aufgabe war, die Schnittlinie der beiden Ebenen zu finden.
Folgende Lösung habe ich: (x,y,z) = (-2,2,0)+t(4,-2,3)

Mit dieser Linie und dem Punkt C (6,2,2) sollte ich einen weiteren Plan berechnen:
d: -4x+16y+16z-40=0

Diese Ebene halbiert den Winkelzwischenraum der Ebenen a und b.
Aufgabe war es herauszufinden, ob es der kleine oder größere Winkelzwischenraum ist.
Habe die verschiedenen Winkel berechnet und rausgefunden, dass es der größere Zwischenraum ist (insg. 139,25°).

Die Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme ist die Folgende:
bestimmte die Gleichung für die Ebene, die den anderen (also den kleineren) Winkelzwischenraum halbiert.

Ideen?

Als letzte Aufgabe soll ich noch eine Formel bestimmen.
2 Ebenen definiert durch normalenvektor1 (n1) und normalenvektor2 (n2) sind gegeben.
Aufgabe ist eine Formel mit Hilfe von n1 und n2 für die Ebene zu definieren, die den Winkelzwischenraum der 2 anderen Ebenen halbiert.

Auch da habe ich bisher nicht wirklich Ideen..

-

Meine Ideen:
..

15.02.2011, 17:01

riwe

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RE: Ebene halbiert Zwischenraum zweier Ebenen
ich würde es so machen:

$\begin{eqnarray*} HNF_1 =\pm HNF_2 \end{eqnarray*}$

damit bekommst du beide winkelhalbierenden ebenen,
ein davon hast du bereits Augenzwinkern

zur letzten aufgabe: betrachte die normierten normalenvektoren

15.02.2011, 17:05

MatheTyp20

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Was ist HNF?
Hessesche Normalform?
Diese habe ich nämlich nie gelernt und weiß somit auch nicht wirklich was gemeint ist..

15.02.2011, 17:29

Bjoern1982

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Alternativ kannst du dir ja auch noch überlegen wie denn die beiden winkelhalbierenden Ebenen zueinander liegen müssen Augenzwinkern

15.02.2011, 17:30

riwe

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Zitat:

Original von MatheTyp20
Was ist HNF?
Hessesche Normalform?
Diese habe ich nämlich nie gelernt und weiß somit auch nicht wirklich was gemeint ist..

ja, HNF bedeutet hessesche normalform.

dann mußt du weg 2 gehen:

1) nimm einen punkt der schnittgeraden.
2) zeichen dir ein parallelogramm auf, dann siehst du,
für die normalenvektoren der winkelhalbierenden ebenen gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{w}_{1,2}=\vec{n}_{10}\pm\vec{n}_{20} \end{eqnarray*}$

der index null bedeutet, dass du die normalenvektoren normieren mußt

3) kombiniere 1) und 2)

15.02.2011, 17:36

MatheTyp20

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@Björn: das habe ich bereits überlegt.., bin mir aber nicht sicher, ob sie sich in einem Winkel von 90° kreuzen, oder ob sie die gleichen Winkel wie die Ebenen a und b bilden..
Mit der 90° Methode hab ichs probiert.., jedoch kam da nicht das richtig Ergebnis bei raus.

15.02.2011, 17:43

MatheTyp20

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@Werner: aus Deinem Post werde ich leider nicht wirklich schlau.., Normalenvektor normieren.., und die Formel die Du mir da aufgeschrieben hast.., :/
Trotzdem danke! smile

15.02.2011, 18:14

riwe

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wenn du nach dem vorschlag von bjoern nix rausbringst, hast du dich verrechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\4 \\ 4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 4 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 19 \\ -14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit den normierten normalenvektoren, diese haben die länge l = 1:

$\begin{eqnarray*} \vec{w}_{1,2}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}6 \\ 9\\-2 \end{pmatrix}\pm \frac{1}{3} \begin{pmatrix}2 \\1 \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit der HNF geht´s direkt:

$\begin{eqnarray*} \frac{6x+9y-2z-6}{11}=\pm\frac{2x+y-2z+2}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 18:38

Leopold

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Zur Erläuterung von Werners Vorschlag.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist derselbe wie zwischen deren Normalenvektoren. Jetzt zeichne einfach zwei Vektoren, deren Pfeile am selben Punkt angreifen und die gleich lang sind. Das Letzte ist wesentlich, die Vektoren müssen nicht notwendigerweise die Länge 1 haben, aber sie müssen gleich lang sein. Jetzt ergänze die Figur zu einem Parallelogramm mit den Diagonalvektoren. Was für ein besonderes Parallelogramm ist das? Was gilt über Winkel? Wie erhältst du die Diagonalvektoren rechnerisch?

15.02.2011, 18:40

Bjoern1982

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Oder eben wenn man gar nicht rechnen mag einfach an die Schnittgerade (als Teil der gesuchten winkelhalbierenden Ebene) einfach noch einen Normalenvektor von d als zweiten Richtungsvektor dranhängen und schwupp stehts schon (in Parameterform) da smile

15.02.2011, 18:51

MatheTyp20

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Ja, die (20,19,-14) hatte ich auch schon, aber irgendwie passt das nicht so.
Ich berechne zur Kontrolle immer die Winkel zwischen dem neuen Normalenvektor u. a und b.
Eigentlich sollten beide ca. 20° ergeben. Der eine (Winkel zwischen dem neuen und b) ergibt jedoch 70°..

15.02.2011, 19:33

riwe

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$\begin{eqnarray*} cos\alpha_1=\frac{\begin{pmatrix} 20 \\19 \\-14\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ -2\end{pmatrix}}{11\sqrt{957}}=\frac{29}{\sqrt{957}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha_2=\frac{\begin{pmatrix} 20 \\19 \\-14\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}}{3\sqrt{957}}=\frac{29}{\sqrt{957}} \end{eqnarray*}$

edit: tippfehler korrigiert

15.02.2011, 19:36

MatheTyp20

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Im oberen rechten ists aber eigentlich (6,9,-2)..

15.02.2011, 19:39

MatheTyp20

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Ok, war deinerseits nur ein Tippfehler.
Habs jetzt ebenfalls.., weiß nicht wie ich drauf gekommen bin, aber beim unteren habe ich immer mit (2,1,2) gerechnet.

Danke Euch, habs jetzt! smile

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