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15.02.2011, 16:55

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Hallo, könnt ihr bitte die Rechnungen zu 2 Aufgaben dieses Blattes kontrollieren:
http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=4087

1b)
zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} | x + \frac{1}{x} | \geq 2 \end{eqnarray*}$
(die 0,5 hab ich mal rübermultipliziert)

Begründung:
$\begin{eqnarray*} Setze~~y=x + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
damit ist $\begin{eqnarray*} x= - \frac{y}{2} \pm \sqrt{\frac{y^{2} }{4} - 1} \end{eqnarray*}$
Man sieht, dass x für beliebige y aus den reellen Zahlen nur reell werden kann, für $\begin{eqnarray*} | y | \geq 2 \end{eqnarray*}$
Wegen Beträgen werden die negativen Zahlen auch positiv.

Könnte man das auch so zeigen, dass man die lokalen Extrema von y bestimmt und dann weiter über Monotonie argumentiert? Die Monotonie würde ich dann mithilfe der ersten Ableitung bestimmen.

Dann noch zu 5a)
Reicht es, hier zu zeigen, dass der Betrag von sinx und cosx nicht größer als 1 werden kann, und dann rechnet man die "schlimmsten Fälle" durch, also
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} +1}{x^{2} -1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} -1}{x^{2} +1} \end{eqnarray*}$ ,
wo beide für x-> unendlich gegen 1 gehen??

Vielen Dank schon mal.

15.02.2011, 17:03

Ibn Batuta

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Zu Aufgabe 1b).
Es ist noch gar nicht geklärt, dass $\begin{eqnarray*} |y|>2 \end{eqnarray*}$ sein muss. Ich würde an deiner Stelle den Betrag auflösen und dann per Fallunterscheidung die Ungleichung zeigen.

Zu Aufgabe 5b).
Benutze, dass $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und folgere daraus. Dein Ansatz geht schon in die richtige Richtung.

Ibn Batuta

15.02.2011, 17:11

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Danke schon mal für deine Antwort.
Zu 1b)
Aber $\begin{eqnarray*} |y| \geq 2 \end{eqnarray*}$ muss doch gelten, weil sonst die Wurzel negativ werden würde.
Oder meinst du jetzt speziell das $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ? Kann man dann nicht einfach ein Beispiel dafür bringen, bei dem |y| größer als 2 wird?

Edit: und dass der Betrag von y größer gleich 2 ist, und nicht bloß y, schlussfolgere ich daraus, dass beim Quadrieren die Vorzeichen wegfallen, und y² muss größer gleich 4 sein, also darf y aus dem offenen Intervall (-2 , +2) keinen Wert annehmen.

Bei 5b)

Zitat:

Dein Ansatz geht schon in die richtige Richtung.

Hmm...was heißt das nun genau? Kann ich mit meinen zwei Fällen weiter machen, wo je als Grenzwert eins rauskommt oder muss ich allgemein schlussfolgern, dass bei x²+beschränkt / (x²+beschränkt) das "beschränkt" keine Rolle für den Grenzwert spielt?

15.02.2011, 17:22

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Fragen über Fragen
Danke schon mal für deine Antwort.
Zu 1b)
Aber $\begin{eqnarray*} |y| \geq 2 \end{eqnarray*}$ muss doch gelten, weil sonst die Wurzel negativ werden würde.

Das genau sollst du ja, nach deiner Umformung eben zeigen und nicht verwenden.

Zitat:

Original von Fragen über Fragen
Hmm...was heißt das nun genau? Kann ich mit meinen zwei Fällen weiter machen, wo je als Grenzwert eins rauskommt oder muss ich allgemein schlussfolgern, dass bei x²+beschränkt / (x²+beschränkt) das "beschränkt" keine Rolle für den Grenzwert spielt?

Was du gemacht hast, ist eine Abschätzung mit einer größeren Folge. Was du verwenden möchtest, ist der Einschnürungssatz für Folgen. Du musst noch eine kleinere Folge konstruieren, für die du dann zeigen kannst, dass der Grenzwert tatsächlich 1 ist.

Ich hätte so argumentiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2} +\sin(x)}{x^{2} -\cos(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{1 +\frac{\sin(x)}{x^2}}{1 -\frac{\cos(x)}{x^2}}=1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Das folgere ich aus den mir bekannten Grenzwertsätzen.

Ibn Batuta

15.02.2011, 19:20

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Zitat:

Das genau sollst du ja, nach deiner Umformung eben zeigen und nicht verwenden.

Tut mir leid, aber ich verstehe noch nicht, was genau ich noch zeigen muss.
Indem ich den Term im Betrag als Funktion von x auffasse (und f(x) mit y bezeichne), kann ich mir auch anschauen, welche Werte das Bild f(x)=y annehmen kann.

Dann habe ich ja die Funktion nach x umgestellt und stelle fest, dass für ein y aus (-2 , 2) kein Urbild existiert; folglich können Werte, deren Betrag kleiner als 2 sind, durch reelle x nicht angenommen werden.
Dass |y| kleiner gleich 2 sein muss, zeige ich doch, indem ich mir speziell die Wurzel rausgreife und festlege:
$\begin{eqnarray*} \frac{y^{2} }{4} -1 \geq 0<br /> <br /> \Rightarrow y^{2} \geq 4<br /> \Rightarrow y\leq -2 ~~fuer~~y<0~~~~,y\geq 2~~fuer~~y>0<br /> \Rightarrow |y|\geq 2 \end{eqnarray*}$

16.02.2011, 22:32

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kann da bitte noch mal jemand drüberschauen?

16.02.2011, 23:35

Merlinius

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Ich finde es jedenfalls unschön. Warum nimmst Du nicht einfach die binomische Formel? Dies ist sicher im Sinne des Aufgabenstellers:

$\begin{eqnarray*} |x+\frac 1 x| \geq 2 \Leftrightarrow |x|\cdot |x+\frac 1 x| \geq 2 |x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x|\cdot |x+\frac 1 x| -2|x| \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x^2+1|-2|x| \geq 0 \Leftrightarrow x^2+1 -2|x| \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x|^2-2|x|+1 \geq 0 \Leftrightarrow (|x|-1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Wahlweise mit einer Fallunterscheidung, dann kann man ohne Beträge rechnen.

Ich denke schon, dass Deine Argumentation formal korrekt ist, weil: Wenn $\begin{eqnarray*} x + \frac 1 x = y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann muss gelten $\begin{eqnarray*} x^2-xy+1 = 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |y| \geq 2, \text{da } x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Aber irgendwie finde ich es halt ein kleines bisschen unschön, wie gesagt. Der Gedanke dahinter ist ja, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} x^2-xy+1 = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Nullstelle in R hat, in Linearfaktoren über R zerfällt und dies nur möglich ist, wenn $\begin{eqnarray*} |y| \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist. Und das Argument wird nicht wirklich sichtbar, wenn man einfach nur die p-q-Formel hinhaut.

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