Einzige Lösung einer Gleichung

15.02.2011, 17:36

wisor1992

Einzige Lösung einer Gleichung

Edit (mY+): Bitte von Hilfeersuchen abzusehen, dies wurde aus dem Titel entfernt.

Folgende Aufgabe: Beweisen sie, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{2009}+2009x+1=0 \end{eqnarray*}$ eine einzige Lösung zwischen -1 und 0 hat.

mein Lösungsvorschlag
$\begin{eqnarray*} x(1^{2009}+2009)=-1\Rightarrow x=-1 \end{eqnarray*}$
Kann das stimmen?

15.02.2011, 18:25

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende den Zwischenwertsatz und die Monotonie mittels der Ableitung.

Ibn Batuta

15.02.2011, 18:31

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist der Zwischenwertsatz?

15.02.2011, 18:32

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

also $\begin{eqnarray*} 2009x^{2008}+2009=0 \end{eqnarray*}$ und dann?

15.02.2011, 19:06

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2009x^{2008}+2009 \end{eqnarray*}$ ist korrekt.

(1) Die brauchst du nicht Null setzen, sondern berechne: $\begin{eqnarray*} f'(-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus und warum?

(2) Berechne im Anschluss: $\begin{eqnarray*} f(-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ . Was kommt da raus? Und was kann man aus 1) folgern?

Ibn Batuta

15.02.2011, 19:12

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

f'(-1)=nicht definiert
f(0)=1
f(-1)=2011

15.02.2011, 19:16

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wisor1992
f'(-1)=nicht definiert

Wie kommst du auf diese kühne These? Möchtest du das Ergebnis für $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ für dich behalten?

Zitat:

Original von wisor1992
f(0)=1

Das ist korrekt.

Zitat:

Original von wisor1992
f(-1)=2011

Das ist falsch und beantworte auch meine Fragen.

Ibn Batuta

15.02.2011, 19:18

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

f(0) ist dann die einzig gültige Lösung zwischen -1 und 0
für f(-1) kommt -2009 raus

15.02.2011, 19:26

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

In welcher Klasse bist du?

Zitat:

Original von wisor1992
f(0) ist dann die einzig gültige Lösung zwischen -1 und 0

Das ergibt überhaupt keinen Sinn. Was bekommst du für $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ raus?

Zitat:

Original von wisor1992
für f(-1) kommt -2009 raus

Das ist korrekt. Die Aufgabe ist aber noch längst nicht fertig. Wenn du mir korrekt hinschreibst, was in die Fragezeichen reingehören, machen wir weiter:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-1)=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-1)=-2009 \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

15.02.2011, 19:29

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

f'(0)=2009
f'(-1)=4018

15.02.2011, 19:36

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Die Ableitung ist also im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,0]>0 \end{eqnarray*}$ , wenn wir die Stetigkeit noch heranziehen... Was bedeutet das für die Funktion, wenn die Ableitung $\begin{eqnarray*} [-1,0]>0 \end{eqnarray*}$ ist? Was kann man daraus direkt folgern, wenn $\begin{eqnarray*} f(0)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1)<0 \end{eqnarray*}$ ist?

Ibn Batuta

15.02.2011, 19:39

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe das nicht. ist die Funktion nicht stetig?

15.02.2011, 19:50

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion und die Ableitung sind stetig. Warum beantwortest du nicht meine Fragen? Die sind für die Lösung der Aufgabe von Belang!

Ibn Batuta

15.02.2011, 19:51

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist aber schon fertig oder?

15.02.2011, 20:01

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist sie nicht. Du hast ja bisher den Großteil meiner Fragen nicht beantwortet. Bin jetzt auch weg, weil ich nach Hause muß. Sonst übernachte ich heute in der Bib. Big Laugh

Ein anderer Helfer kann sich ja deiner annehmen!

Ibn Batuta

21.02.2011, 17:44

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

was muss ich noch tun?

21.02.2011, 17:51

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Untersuchen, was aus aus der Tatsache folgt, dass die Funktion an den Rändern des Intervalls verschiedene Vorzeichen hat und dass dort die 1. Ableitung durchwegs positiv ist.

mY+

21.02.2011, 17:57

wisor1992

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe nicht, was dann die Lösung ist

21.02.2011, 18:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist ja auch stetig (weil diffbar). Die Ableitung ist in dem betrachteten Intervall durchwegs positiv. Was sagt dies über die Steigung bzw. Monotonie aus?
Hast du dies mal, genügt nur noch die Anwendung des Zwischenwertsatzes (welchen Wert MUSS dann die Funktion jedenfalls auch annehmen, wenn an den Rändern des Intervalls die Funktionswerte verschiede Vorzeichen haben?).

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Einzige Lösung einer Gleichung

Verwandte Themen