Gerade als Matrix darstellen

15.02.2011, 18:37

bibabo

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Gerade als Matrix darstellen

Meine Frage:
Hallo Leute,

habe gestern meine Lineare Algebra 1 Kausur geschrieben und konnte eine Aufgabe einfach nicht lösen. Ich finde nur unzureichendes über Google und mein Skript gibt auch nicht viel her. Ich würde aber für die Zukunft gerne wissen, wie man so eine Aufgabe löst. Diese lautete in etwa: Seien P1 := (1,1,1) (an die genauen Zahlen erinnere ich mich nicht mehr) und P2 := (1,1,2) zwei Punkte im R3. Durch die beiden Punkte verlaufe eine Gerade L1. Und dann sollte man die Gerade L als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems beschreiben, mit der Voraussetzung, dass Li = {x element R3, Ai * x = bi, mit Ai element M2,3(R) und bi element R2 für i=1.

Meine Ideen:
Sehe ich das richtig, dass ich hier eine Gerade in Form einer 2x3-Matrix darstellen sollte? Ich finde das sehr verwirrend. Ich hatte gedacht, ich erstelle zuerst eine Gerade in Parameterform mit Stütz- und Richtungsvektor und bringe die Parameterform dann in ein lineares Gleichungssystem (Koordinatenform), so wie man es aus der Schule kennt. Aber dann habe ich ja nur ein einzeiliges Gleichungssystem und keine 2x3-Matrix oder? Würde mich sehr freuen, wenn jemand da eine Ahnung hätte, wie das gehen soll smile

smile

15.02.2011, 18:41

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen

Zitat:

Sehe ich das richtig, dass ich hier eine Gerade in Form einer 2x3-Matrix darstellen sollte?

Das sieht du falsch. Du hast doch selbst geschrieben

Zitat:

Durch die beiden Punkte verlaufe eine Gerade L1. Und dann sollte man die Gerade L als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems beschreiben,

Die Gerade ergibt sich als Schnittmenge von 2 Ebenen. Aus den beiden Punkten kann man direkt eine Darstellung der Geraden bekommen. Da sind Parameter dabei. Die Aufgabe ist im Grunde die Umkehrung der Lösungsberechnung eines LGS.

15.02.2011, 18:49

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Mh, das erschließt sich mir nicht ganz. Wenn die Gerade die Schnittgerade von zwei Ebenen sein soll, dann macht das mit dem 2x3 auf jeden Fall Sinn. Aber wie soll ich denn aus der zwei Punkten zwei Ebenen bilden bzw. von welchen Parametern sprichst du? Meinst du, dass ich x1, x2 und x3 irgendwie in Abhängigkeit bringen soll? Entschuldige, wenn das an sich sehr einfach ist aber ich steige da echt nicht hinter.

15.02.2011, 18:54

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Stell doch aus den beiden Punkten erst mal die Geradegleichung auf. Aufpunkt + Richtungsvektor. Wie sieht das dann aus?

15.02.2011, 18:57

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Dann würde ich P1 als Stützvektor nehmen, P2-P1 als Richtungsvektor und s als freie Variable sprich:

L = (1,1,1) + s*(0,0,1)

15.02.2011, 19:05

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Die allgemeine Lösung von Ax=b sieht also so aus:

$\begin{eqnarray*} x_s^*=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun müssen wir uns A und b erarbeiten. A sollte möglichst einfache Gestalt haben. Wir sehen in der Lösung, nur die dritte Komponente hängt von s ab.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ?& ? & ? \\ *&* &* \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\\1+s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}? \\ * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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15.02.2011, 19:19

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Kann ich da jetzt einfach irgendwas einsetzen oder muss es ein bestimmtes bi geben?
Wenn nicht, dann würde ich einfach

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als A nehmen.
Und dann ergäbe sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+s \\ 3+s \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 19:34

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Man hat schon Freiheiten. Aber so nun auch wieder nicht. Denn dieses LGS hat weit mehr Lösungen, als unser xs. Das s darf in b auch nicht vorkommen.

Schau mal hier rein, nur als Inspiration für den Umkehrungsweg. Das Rahmenthema soll dir egal sein.

15.02.2011, 19:48

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Ich steige da echt nicht durch. Definiert sich unser xs als (x1, x2, x3)?
Und hieße das x3 = 1+s, x2=x2 und x1=x1? Ich probiere hier echt rum aber ich verstehe das nicht. Was genau ist unser A, was unser x und was unser b? Ist (1, 1, 1+s) unser x? Und was wäre dann b? Würde mich freuen, wenn du mir noch ein bisschen auf die Sprünge helfen könntest unglücklich

unglücklich

15.02.2011, 19:52

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen

Zitat:

Und hieße das x3 = 1+s, x2=1 und x1=1?

so wäre es korrekt. Die Aufgabe besteht doch nun darin, A und b so zu bestimmen, dass nur die xs das LGS Ax=b lösen. Daher empfahl ich dir, A möglichst einfach zu wählen. Dreieckstruktur. Versuche doch den Link mal hin und rück zu rechnen.

15.02.2011, 20:14

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Ich glaube ich bin für diese Aufgabe einfach zu blöd. Oder ich denke viel zu kompliziert. Wenn, wenn du sagst, A und b so gewählt werden müssen, dass nur unser xs das LGS erfüllt, dann brauche ich doch noch eine Angabe von A oder b, um die Matrixmultiplikation lösen zu können oder nicht? Ich verstehe den Zusammenhang zwischen den x1, x2 und x3 nicht. Sind das die gleichen, wie in einer linearen Gleichung? Dann hätte ich doch einen Einzeiler: x1 + x2 + x3, also 1 + 1+ (1+s). Ich glaube mir fehlt einfach der Zusammenhang, sodass ich das nicht überblicke. Zu deinem Link: von dem Vektor komme ich auf x2. Das ist einfach. Aber dann eine Zeile höher, da komme ich schon nicht weiter. Wo kommen die 4 und die (-2) her? Wenn du von Dreiecksform sprichst: keiner meiner Vektoren in dieser Aufgabe kann doch so eine Struktur bilden oder nicht? Oder sehe das dann so aus
x1 + x2 + x3 =
x2 + x3 =

Was steht denn hinter dem Gleichheitszeichen?
Wenn ich x1 als 1, x2 als 1 und x3 als 1+s auffasse, dann müsste das System doch lauten:
x1 + x2 + x3 = 3+s
x2 + x3 = 1+s

Ich verzweifle. Danke für deine Geduld smile

smile

15.02.2011, 20:17

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen

Zitat:

Beispiel (die Koeffizienten von ausgelassenen Elementen sind 0):

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 6 x_1 & + & 3 x_2 & + & 4 x_3 & = & 1\\ & & & - & 5 x_3 & = & 10 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Lineare Gleichungssysteme in Stufenform können durch Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution) gelöst werden. Beginnend mit der letzten Zeile berechnet man dabei die Unbekannte und setzt das gewonnene Ergebnis jeweils in die darüberliegende Zeile ein um die nächste Unbekannte zu berechnen.

Lösung des obigen Beispiels:

1. Auflösen der zweiten Zeile nach x3:

$\begin{eqnarray*} x_3 = \frac{10}{-5} = -2 \end{eqnarray*}$

2. Einsetzen von x3 in die erste Zeile:

$\begin{eqnarray*} 6 x_1 + 3 x_2 + 4 \cdot (-2) = 1 \end{eqnarray*}$

3. Auflösen der ersten Zeile nach x2:

$\begin{eqnarray*} x_2 =-2x_1 + 3 \end{eqnarray*}$

4. Mit x1 = t sind alle Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}t \\ -2t + 3 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Lösungen des Gleichungssystems.

Verstehst du diesen Weg (Hinrichtung).

15.02.2011, 20:24

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Jap. Das ist kein Problem.

15.02.2011, 20:29

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Sind also bei uns alle Vektoren der Form (1, 1, 1+s) Lösungen des Gleichungssystems? Wenn ja, dann wäre ja, wie schon gesagt x1=1, x2=1 und x3=1+s. Ich glaube, mein Problem liegt bei dem s, weil ich das ja vorher nicht definiert habe, oder? Was ist unser s?

15.02.2011, 20:30

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Bleiben wir mal bei dem Wiki Beispiel. Wo kam da denn das t her?

15.02.2011, 20:33

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Naja, wir haben x1=t gesetzt, weil wir eine freie Variable zur Verfügung hatten, oder? Wir hatten ja drei Variablen aber nur zwei Lösungen. Ist das richtig?

15.02.2011, 20:37

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Das LGS war unterbestimmt. Daher das t. Nun versuche mal das ganze Rückwärts zu machen. Wie kommt man von der Lösung wieder auf die Matrix.

Ich mache nun mal Pause

15.02.2011, 20:47

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Wir nehmen das x2, welches laut Lösungsvektor -2t + 3 ist. Und da t=x1 festgelegt wurde, lautet die Gleichung x2 = -2x1 +3. Der Schritt ist für mich plausibel. Und wenn ich dann in die Gleichung 6x1 + 3x2 + 4x3 = 1 den Wert für x2 (-2x1 + 3) einsetzt, erhalte ich x3 = -2 als Lösung, was auch richtig ist. Aber ich komme von
x2 = -2x1 + 3 eben nicht auf die Hauptgleichung 6x1 + 3x2 + 4x3 = 1.

15.02.2011, 22:24

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
$\begin{eqnarray*} x_3 = \frac{10}{-5} = -2 \end{eqnarray*}$

So, ziel ist eine Dreiecksmatrix. x3 hängt von keinem Parameter ab. Wir bauen uns eine Zeile. Möglichst einfach.

$\begin{eqnarray*} 0x_1+0_2+1x_3 = -2 \end{eqnarray*}$

Eine (der unendlich vielen vielen) andere Möglichkeiten ist

$\begin{eqnarray*} 0x_1+0_2+5x_3 = -10 \end{eqnarray*}$

so wie es ja auch hier in der Matrix stand. Damit hat A schon die Gestalt

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} ? & ? & ?\\ 0& 0&1 \end{pmatrix},~b=\begin{pmatrix} * \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir machen mit der einfachen Matrix weiter. Mit $\begin{eqnarray*} x_1 = t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2= -2t + 3 \end{eqnarray*}$ wissen wir, dass in A die ersten beiden Positionen besetzt sind. Aber wie nur? Bauen wir wieder einfach:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & ? & ?\\ 0& 0&1 \end{pmatrix},~b=\begin{pmatrix} * \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir müssen nun erzwingen, dass mit den letzten zwei ?? wir unseren Lösungsvektor als einzige Lösung bekommen. Vor allem müssen links die t rausfallen.

$\begin{eqnarray*} t + ? (-2t+3) + ? (-2) = * \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t + 0.5(-2t+3) + ? (-2) = * \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1.5 + ? (-2) = * \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1.5 + 1(-2) = -0.5 \end{eqnarray*}$

Wir haben dann also

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 1\\ 0& 0&1 \end{pmatrix},~b=\begin{pmatrix} -0.5 \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Probe zeigt genau die richtige Lösung an.

15.02.2011, 23:02

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Ok, so langsam erschließt sich mir das. Ich verstehe nur den Punkt nicht, dass in A die ersten beiden Positionen besetzt sind. Warum? Und ich verstehe auch noch nicht ganz, was genau bei uns nun das s ist? Bei dem Wiki-Beispiel wurde ja x1=t gesetzt.

Aber ich versuche trotzdem mal eine Matrix für unser Beispiel aufzustellen.
Also nach unserem xs = (1, 1, 1+s) ist x1=1.
Dann würde ich daraus eine Gleichung bauen:
x1 + 0x2 + 0x3 = 1
Das würde ich in die obere Zeile der Matrix einsetzen:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ ? & ? & ?\\ \end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix} 1 \\ ?\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig? Jetzt komme ich aber nicht weiter. Kann ich einfach sagen:
0x1 + 1x2 + 0x3 = 1 und das dann in die untere Zeile einsetzen, sodass ich insgesamt hätte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ginge das so?

15.02.2011, 23:05

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Also was ich meine: wie entscheidet man, welche Gleichungen (x1=, x2=, x3=) in die Matrix aufgenommen werden? Was ist denn jetzt mit meinem x3=1+2? Muss das gar nicht mit in di Gleichung? Was ist unser s? Ich glaube das s killt mich die ganze Zeit Big Laugh

Big Laugh

15.02.2011, 23:08

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
* x3 = 1+s

15.02.2011, 23:15

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Beim anderen hatten wir als Lösung eigentlich

$\begin{eqnarray*} x_t^*=\begin{pmatrix}0\\ 3 \\ -2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier nun

$\begin{eqnarray*} x_s^*=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir sehen, dass wir die dritte Komponente völlig frei wählen können. Unabhänging von den anderen. Daher ist der Lösungsraum auch so darstellbar.

$\begin{eqnarray*} x_r^*=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} r:=s+1 \end{eqnarray*}$

Damit ist die/eine Lösung vielleicht einfacher zu berechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 23:27

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Ok, das macht Sinn. Aber mir fehlt noch immer der letzte Funke. Heißt das, ich könnte in unserem Fall frei wählen, ob s = x1, x2 oder x3 ist? Dieses verdammte s. Wäre denn meine Matrix eine richtige Version? Also stimmen tut das Ergebnis ja, aber ist die so wirklich ok? Und ich verstehe immer noch nicht, wie genau die Reihen in der Matrix entstehen. Ist die Lösung eigentlich schon offensichtlich und ich verstehe es tatsächlich nicht oder versucht du immer noch mir auf die Sprünge zu helfen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 23:32

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre z.B. eine Lösung. Wir müssen die dritte Komponente frei halten, die anderen auf 1 zwingen. Deins geht auch, ich dachte nur so, mit einer puren Variable r ist es leichter einzusehen.

Ansonsten: Noch mal drüber schlafen und morgen noch mal in Ruhe den Thread lesen.

15.02.2011, 23:35

bibabo

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Okay, ich glaub ich habs Big Laugh

Big Laugh

Vielen vielen Dank für die Mühe, das hat mir wirklich sehr geholfen. Morgen lese ich nochmal in Ruhe drüber und dann sind bestimmt auch die letzten Zweifel dahin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dir eine gute Nacht!

15.02.2011, 23:36

tigerbine

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RE: Gerade als Matrix darstellen
Wink

Wink

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