Surjektivität

15.02.2011, 19:00

Pustefix91

Surjektivität

Guten Abend,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Vor: Sei f: M -> N eine surjektive Abbildung
Beh: $\begin{eqnarray*} g: M/f^{-1}(y) -> N/{y}: x -> f(x) \end{eqnarray*}$ ist surjektiv
Bew:
Ehrlich gesagt kommt mir die Aussage so trivial vor, das ich nicht weiß was ich da noch groß beweisen soll? Sei $\begin{eqnarray*} y_{2} \in N/{y} \Rightarrow \exists x\in M/f^{-1}(y): f(x) = y_{2} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} N/{y} \subset N \end{eqnarray*}$ und f surjektiv.
Hm und nun? Ich kann irgendwie nicht glauben das das reicht. Für mich persönlich reicht das... Was muss noch gezeigt werden? Was fehlt noch?

Schönen Gruß Pustefix91

15.02.2011, 19:21

Elvis

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Das sieht ja merkwürdig aus ... worum geht es hier ... was ist denn bitte $\begin{eqnarray*} M/x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ... oder $\begin{eqnarray*} M/N \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N\subset M \end{eqnarray*}$ verwirrt

Warum ist g dann wohldefiniert ??? ... und was ist trivial, wenn ich nur Bhf verstehe ???

15.02.2011, 19:29

Pustefix91

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Zitat:

Original von Elvis
Das sieht ja merkwürdig aus ... worum geht es hier ... was ist denn bitte $\begin{eqnarray*} M/x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ... oder $\begin{eqnarray*} M/N \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N\subset M \end{eqnarray*}$ verwirrt

Warum ist g dann wohldefiniert ???

Entschuldige bitte. Habe so meine probleme mit dem Formeleditor. Ich weiß zwar nicht wo her du M/x her hast, aber gemeint wäre in meinem Fall M\{x}. Aus irgendwelchen mir nicht erklärbaren gründen, will der formeleditor mir sowas nicht hinschreiben. Mi M/N ist M\N gemeint. g ist wohldefiniert, da alle x aus der Definitionsmenge auf f(x) abgebildet werden und f ist wohldefiniert.

15.02.2011, 19:40

Pustefix91

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Vor: Sei f: M -> N eine surjektive Abbildung
Beh: g: M\f^(-1)({y}) -> N\{y}: x -> f(x)
Bew: Sei y´element aus N\{y}. Daraus folgt es gibt x element aus M\f^(-1)({y}): f(x) = y´. Da N\{y} teilemenge von N ist und f surjektiv.

hoffe das machts verständlicher.

15.02.2011, 22:57

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pustefix91
Beh: g: M\f^(-1)({y}) -> N\{y}: x -> f(x)

Das ist keine Aussage. Du hast vermutlich den Zusatz "ist surjektiv" vergessen.

Zitat:

Original von Pustefix91
Bew: Sei y´element aus N\{y}. Daraus folgt es gibt x element aus M\f^(-1)({y}): f(x) = y´.

code:
1:	\backslash

Edit: Eben erwähnter LaTeX-Code funktioniert zwar "optisch", aber eigentlich meinte ich das bessere weil semantisch bedeutungsvolle:

code:
1:	\setminus

15.02.2011, 23:15

Pustefix91

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
[quote]Original von Pustefix91
Beh: g: M\f^(-1)({y}) -> N\{y}: x -> f(x)

Das ist keine Aussage. Du hast vermutlich den Zusatz "ist surjektiv" vergessen.

Zitat:

Original von Pustefix91
Bew: Sei y´element aus N\{y}. Daraus folgt es gibt x element aus M\f^(-1)({y}): f(x) = y´.

Das ist genau die Aussage, die Du zeigen sollst und nicht der erste Beweisschritt. Im Klartext: wir betrachten ein Element $\begin{eqnarray*} z \in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \neq y \end{eqnarray*}$ . Aufgrund der Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wissen wir, es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = z \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist die Frage, warum kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht auch auf $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, d.h. warum gilt zwangsläufig $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für deine Antwort. Ja, da habe ich tatsächlich surjektivität vergessen. Hm na ja x kann nicht auf y abgebildet werden, da N ohne y die Zielmenge ist. $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ das gilt, weil wenn x Element von $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ wäre, so müsste so wäre f(x) = y. Was aber eben nach Voraussetzung nicht möglich ist. Oder seh ich das völlig falsch?

15.02.2011, 23:22

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pustefix91
[...] wenn x Element von $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ wäre, so müsste so wäre f(x) = y. Was aber eben nach Voraussetzung nicht möglich ist.

Richtig. Das Schlüsselargument an der Stelle ist, dass jedes Element aus dem Urbild nur auf genau ein Element im Bild abgebildet werden, d.h. Funktionswerte sind eindeutig bestimmt.

Anschaulich kannst Du Dir die Aussage vielleicht so klarmachen: angenommen, man hat eine surjektive Abbildung gegeben und entfernt im Bildbereich einen Punkt, so muss man im Urbildbereich die ganze Urbildmenge dieses Punktes (auch Faser genannt) entfernen, um durch Koeinschränkung der Ausgangsabbildung wieder eine Surjektion zu erhalten.

15.02.2011, 23:59

Pustefix91

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Danke für deine Erklärung. So hatte ichs mir auch vorgestellt Augenzwinkern

. Allerdings frag ich mich nun was reicht denn jetzt eigentlich für den Beweis aus? Sei $\begin{eqnarray*} z\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \neq y \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv gibt es ein x mit f(x) = z. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv folgt daraus g surjektiv. q.e.d

16.02.2011, 00:31

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pustefix91
Allerdings frag ich mich nun was reicht denn jetzt eigentlich für den Beweis aus? Sei $\begin{eqnarray*} z\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \neq y \end{eqnarray*}$ . Da f surjektiv gibt es ein x mit f(x) = z.

An der Stelle muss man sagen, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erstmal aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist. Im nächsten Schritt stellt man fest, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \neq y \end{eqnarray*}$ . (Warum?) Damit hat man $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist man schon fertig. Man muss nicht nochmal verwenden, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, denn für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} z \in N \setminus \{ y\} \end{eqnarray*}$ hat man ja bereits einen Urbildpunkt $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ gefunden.

16.02.2011, 08:14

Pustefix91

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Vielen Dank. Habe es nun verstanden. Bin mir oft noch total unsicher was ich denn alles zeigen muss und was nicht. Danke schön Wink

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