Hauptkrümmung

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15.02.2011, 20:02	LaraG	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptkrümmung Hallo miteinander! Ich hätte noch eine kleine Frage bzgl. Hauptkrümmungen. Wie geht man bei der Berechnung genau vor? Also ich weiss, dass die Hauptkrümmung (bzw. "eine", weil man ja ein "-" vorne reinsetzten kann, oder?) das Produkt der Hauptkrümmungsrichtungen ist. Aber eben: Könnte mir jemand eine "Anleitung" posten, wie man die Hauptkrümmung anhand des Beispiels: (u,v) -> (vcos(u), vsin(u), u^2) berechnet? Besten Dank, Lara.
15.02.2011, 20:53	LaraG	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist folgendes korrekt? $\begin{eqnarray} K_{1,2} = H \pm \sqrt{H^2-K} \end{eqnarray}$ wobei: K_i die Hauptkrümmungsrichtungen, H die mittlere Krümmung und K die Gauss-Krümmung. Ich wäre um eine Bestätigung wirklich sehr dankbar! Liebe Grüsse, Lara
16.02.2011, 09:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@LaraG Ja, deine Formel ist korrekt. Die Hauptkrümmung hat folgende geometrische Bedeutung: Wenn ein Auto auf einer gekrümmten Fläche fährt (mit konstanter Geschwindigkeit), so wirkt auf den Fahrer eine Kraft $\begin{eqnarray} \vec F=m\ddot{\vec x} \end{eqnarray}$ . (Der Einfachheit halber setzen wir m=1.) Diese Kraft kann man bezüglich der Fläche) in einen Normalanteil $\begin{eqnarray} \vec F_N \end{eqnarray}$ und einen Tangentialanteil $\begin{eqnarray} \vec F_T \end{eqnarray}$ zerlegen, also $\begin{eqnarray} \vec F=\vec F_N+\vec F_T \end{eqnarray}$ . Der Tangentialanteil $\begin{eqnarray} \vec F_T \end{eqnarray}$ ist diejenige Kraft, die den Fahrer bei Kurvenfahrt nach rechts bzw. links drückt. Der Normalanteil $\begin{eqnarray} \vec F_N \end{eqnarray}$ ist diejenige Kraft, die den Fahrer bei Talfahrt in den Sitz drückt bzw. bei Fahrt über einen Berg aus dem Sitz heraushebt. An jedem Punkt der gekrümmten Fläche gibt es 2 "Fahrtrichtungen", wo die Normalkraft extremal wird. Diese beiden "Fahrtrichtungen" sind gerade die Hauptkrümmungrichtungen. Die Hauptkrümmungen sind die zugehörigen numerischen Kräfte (in Normalrichtung). Es ist klar, dass bei Fahrt auf einer Ebene keine Normalkräfte, sondern nur Tangentialkräfte wirken (bei Kurvenfahrt).
16.02.2011, 12:14	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
@ LaraG: Und wenn du die Formel nicht benutzen willst: Die Hauptkrümmungen sind die negativen Eigenwerte von $\begin{eqnarray} \dd N_p \end{eqnarray}$ und die Eigenvektoren sind die Hauptkrümmungsrichtungen. Und die Matrixdarstellung $\begin{eqnarray} \dd N_p \end{eqnarray}$ haben wir ja hier besprochen.
16.02.2011, 14:33	LaraG	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden! Zwei Fragen hätte ich noch: Zu den Hauptkrümmungen: Wenn also K (die Gausskrümmung) = 0 ist, so "befindet" man sich in der affinen Ebene, oder? Eine andere Frage: Welche Umlaufzahl hat folgende Kurve? [attach]18167[/attach] Liebe Grüsse, Lara
17.02.2011, 09:05	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wenn konstant K=0 gilt, dann könnte die Fläche auch die Teilmenge des Zylinders oder Kegels sein, siehe hier. Hast du für die Umlaufzahl eine Parametrisierung gegeben oder möchtest du es anschaulich machen?
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17.02.2011, 09:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Gaußsche Krümmung einer Fläche verschwindet, bedeutet dies geometrisch, dass man diese Fläche auf eine Ebene abwickeln kann, ohne dass dabei "Falten" oder "Rissen" entstehen. Wie Cel bereits sagte, gilt dies offenbar für den Zylinder- und Kegelmantel, so dass deren Gaußsche Krümmung ebenfalls verschwindet. Umgekehrt gilt: Jede Fläche, die man durch "Biegung" eines Blattes Papier formen kann (ohne Falten und Risse), hat eine verschwindende Gaußsche Krümmung. Gegenbeispiel: Eine Kugeloberflche kann man offenbar nicht auf eine Ebene abwickeln. Dies wäre nur möglich, wenn die Kugeloberfläche wie eine Gummihaut dehnbar ist. Dann entstehen auf der Gummi-Ebene aber lokale Verzerrungen, die man duch Einführung einer Metrik G korrigieren müsste, wenn man dort Abstände und Winkel richtig berechnen wollte.
17.02.2011, 21:55	LaraG	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Beiträge! @Cel: nein, ich hätte es anschaulich machen wollen. Also ist es korrekt, dass die Umlaufzahl 0 ist?
17.02.2011, 21:58	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawohl, sie ist Null.

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