Verschoben! Partialbruchzerlegung

15.02.2011, 20:57

Austrianer

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Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter:

Berechne die Stammfunktion von f(x)=x-1/x^2-3x

Meine Ideen:
Ich habe bereits die Partialbruchzerlegung durchgeführt und die Probe gemacht. Jetzt sollte ich integrieren (rote Markierung) aber komme nicht zum richtigen Ergebnis welches wie folgt lauten soll:

c+2ln(x-3)/3+ln(x)/3

ln(x-3) und ln(c) kann ich nachvollziehen.

15.02.2011, 21:03

lgrizu

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RE: Partialbruchzerlegung
Da du Partialbruchzerlegung verwendest denke ich mal, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-1}{x^2-3x} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, ich bitte dich aber, Klammern zu setzen.

Ich kann auf der angehängten Datei leider nicht wirklich etwas erkennen, deshalb bitte ich dich, deine Ausführungen hier einzugeben oder die Datei leserlicher (also den Kontrast ändern) hier noch mal anzuhänegn.

15.02.2011, 21:04

Austrianer

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RE: Partialbruchzerlegung
Hier noch einmal die Datei:

15.02.2011, 21:10

lgrizu

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RE: Partialbruchzerlegung
Leserlicher wird sie dadurch nicht.

Edit: Verwende ein Bildbearbeitungsprogramm um den Kontrast zu verändern oder noch besser, poste deinen Lösungsansatz direkt.

15.02.2011, 21:13

Austrianer

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von lgrizu
Leserlicher wird sie dadurch nicht.

Edit: Verwende ein Bildbearbeitungsprogramm um den Kontrast zu verändern oder noch besser, poste deinen Lösungsansatz direkt.

Kannst du das Bild nicht anklicken und vergrößern? ==> ich kann es nämlich dann sehr gut lesen :-?

15.02.2011, 21:22

HAL 9000

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RE: Partialbruchzerlegung
Die letzte richtige Zeile in deinen Bemühungen um eine PBZ ist

$\begin{eqnarray*} x-1 = r_1(x-3) + r_2x \end{eqnarray*}$

Danach wird's unsinnig: Es ist doch gerade das Ziel der PBZ, dass $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ NICHT (!!!) von x abhängen, und das erreicht man z.B. durch Koeffizientenvergleich

- bzgl. $\begin{eqnarray*} x^1=x \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} 1 = r_1 + r_2 \end{eqnarray*}$

- bzgl. $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} -1 = -3r_1 \end{eqnarray*}$

oder aber durch Einsetzen von x=3 bzw. x=0.

P.S.: Besonders gut lesbar ist es wirklich nicht - und vor allem schlecht zitierbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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15.02.2011, 21:28

lgrizu

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RE: Partialbruchzerlegung
@Hal:

Hast du Lust hier weiter zu machen?

Ich muss gleich offline gehen.

15.02.2011, 21:31

Austrianer

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von HAL 9000
Die letzte richtige Zeile in deinen Bemühungen um eine PBZ ist

$\begin{eqnarray*} x-1 = r_1(x-3) + r_2x \end{eqnarray*}$

Danach wird's unsinnig: Es ist doch gerade das Ziel der PBZ, dass $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ NICHT (!!!) von x abhängen, und das erreicht man z.B. durch Koeffizientenvergleich

- bzgl. $\begin{eqnarray*} x^1=x \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} 1 = r_1 + r_2 \end{eqnarray*}$

- bzgl. $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} -1 = -3r_1 \end{eqnarray*}$

oder aber durch Einsetzen von x=3 bzw. x=0.

P.S.: Besonders gut lesbar ist es wirklich nicht - und vor allem schlecht zitierbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich verstehe das mit dem Koeffizientenvergleich nicht ==> Wenn ich ehrlich bin, verstehe ich die ganze PBZ nicht :-)

15.02.2011, 21:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von lgrizu
Hast du Lust hier weiter zu machen?

Jetzt nicht mehr.

15.02.2011, 21:37

lgrizu

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von lgrizu
Hast du Lust hier weiter zu machen?

Jetzt nicht mehr.

Okeydokey.

Beginnen wir einaml mit dem Anfang der PBZ, die Nullstellen des Nenners zu bestimmen, oder besser gesagt, den Nenner in Linearfaktoren zu zerlegen.

Welche Nullstellen hat der Nenner?

15.02.2011, 21:41

Austrianer

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0 und 3

Nullstellen bei der PBZ = Polstellen?

15.02.2011, 21:44

lgrizu

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Ja, das ist richtig, der Nenner zerfällt also in die Linearfaktoren x und x-3.

Nun stellen wir die Funktion dar als $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x(x-3)}=\frac{r_1}{x}+\frac{r_2}{x-3} \end{eqnarray*}$ , wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit x(x-3) und multiplizieren auf der rechten Seite aus.

Da ich jetzt offline gehe habe ich einen meiner äußerst fähigen Mitstreiter dazu gebracht weiter zu machen.

15.02.2011, 21:51

Austrianer

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@ lgrizu: Vielen Dank!!!

Darf ich fragen, warum wir jetzt zwei Brüche mit r1 und r2 im Zähler bekommen?

15.02.2011, 21:56

Equester

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Hi, ich bin dein Engel

Engel

oder

Teufel

wir werden sehen.
Aber erst mal danke an lgrizu für seine übertriebenen, aber lobenden Worte Big Laugh

Big Laugh

Um etwas ernster zu werden:
Ich kann die Frage nicht nachvollziehen, da eben du das gleiche gemacht hast.
Oder hast du es schon da nicht verstanden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir wollen eine Zerlegung machen. Dafür brauchen wir die Nullstellen des
Nenners und können dann die einzelnen Linearfaktoren für sich schreiben. Die
Koeffizienten im Zähler sind aber nicht direkt ablesbar und müssen bestimmt werden.
Deswegen gelten sie zuerst als $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ . Es ist nun
unser Part dafür zu sorgen, dass rechts das gleiche steht wie links^^

Dein Vorschlag?

15.02.2011, 22:00

Austrianer

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Jetzt bekomme ich folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} x-1=r_{1}\left(x - 3\right)+r_{2}x \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 22:01

Equester

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Du hast also mit dem Hauptnenner multipliziert und zielst auf einen Koeffizientenverlgeich ab.
Freude

Freude

Weiter

Augenzwinkern

15.02.2011, 22:04

Austrianer

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Hätte ich das nicht machen sollen? ==> Das war die "Anweisung" von deinem "Vorgänger" !?

Weiter? Das ist ja mein Problem*lach*

15.02.2011, 22:06

Equester

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Ich wollte nur nochmals sagen, was du da eigenlich machst Big Laugh

Big Laugh

Multipliziere den ersten Summanden aus. Sortiere die rechte Seite nach $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ und nach $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ smile

smile

15.02.2011, 22:09

Austrianer

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Wenn ich den ersten Summanden ausmultipliziere dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} x-1=r_{1}x-r_{1}3+r_{2}x \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit dem sortieren?

15.02.2011, 22:13

Equester

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Zitat:

Original von Austrianer
Ich würde jetzt einmal 0 und dann 3 für x einsetzen und dadurch r1 und r2 bestimmen!?

Das wäre dann nicht der Koeffizientenvergleich, sondern das Einsetzungsverfahren.
Du darfst beliebige Werte einsetzen, aber nicht 0 und 3 Big Laugh

Big Laugh

Oder aber du meinst die Grenzwertmethode, aber hier musst du den Grenzwert
der beiden nehmen. Zumal dann die Vorarbeit nicht richtig ist.

Ich würde sagen wir versuchen uns erst am Koeffizientenvergleich. Auf Wunsch
können wir dann noch die anderen Verfahren durchbesprechen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Koeffizientenvergleich:
$\begin{eqnarray*} x-1=r_1(x-3)+r_2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=r_1x-3r_1+r_2x \end{eqnarray*}$

Sortieren:
$\begin{eqnarray*} x-1=-3r_1+(r_1+r_2)x \end{eqnarray*}$

Vergleichen
$\begin{eqnarray*} x^1:~... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^0:~... \end{eqnarray*}$

Du bist dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 22:14

Austrianer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt war ich zu langsam :-)

15.02.2011, 22:16

Equester

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Zitat:

Original von Austrianer
Jetzt war ich zu langsam :-)

Der Wille war da. Und sicher ohne abschreiben. Also Eigenarbeit Freude

Freude

Wie man weitermacht siehst du ja bei mir. Wie mans fertig macht, sehe ich hoffentlich
bei dir Big Laugh

Big Laugh

15.02.2011, 22:19

Austrianer

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Ich kann dir kein Ergebnis liefern, da ich diese Methode heute das erste Mal höre/lese :-/ Ich denke das die vorhin bestimmten Nullstellen etwas damit zu tun haben!?

15.02.2011, 22:23

Equester

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Zitat:

Original von Austrianer
Ich "kenne" bis jetzt nur die Grenzwertmethode.

Hättest das früher gesagt, hätten wir uns danach richten können
(Wenn dus gesagt hast, sry, aber ich bin ja erst späters dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Machen wir aber den Koeffizientenvergleich fertig!

Es steht nun rechts ein Vorfaktor zu $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\to 1) \end{eqnarray*}$ und links ein Vorfaktor zu $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\to r_1+r_2) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x^1:~1=r_1+r_2 \end{eqnarray*}$

Mach das gleiche mit $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ . Nun hast du zwei Unbekannte aber auch
zwei Gleichungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 22:28

Austrianer

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Bin zu blöd dafür... Verstehe nur Bahnhof :-)

Ich hoffe du hast gute Nerven Gott

Gott

Ich sehe einen Faktor vor dem x auf der linken Seite ==> 1
Ich sehe einen Faktor vor dem x auf der rechten Seite ==> $\begin{eqnarray*} r_{1} + r_{2} \end{eqnarray*}$

15.02.2011, 22:32

Equester

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Ich habe das stehen:

$\begin{eqnarray*} x-1=-3r_1+(r_1+r_2)x \end{eqnarray*}$

Soweit kommste mit, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt vergleichen wir die Koeffizienten von links mit denen von rechts.
$\begin{eqnarray*} x-1=-3r_1+(r_1+r_2)x \end{eqnarray*}$

Links steht vor dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach nur die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .
Rechts steht $\begin{eqnarray*} r_1+r_2 \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ steht links einfach nur $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Rechts steht $\begin{eqnarray*} -3r_1 \end{eqnarray*}$ .

Deswegen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} x^1: 1=r_1+r_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^0: -1=-3r_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch auflösen und fertig smile

smile

So verständlich?

Edit: zu deinem Edit: Korrekt.
Und ja ich habe gute Nerven Big Laugh

Big Laugh

Du strapazierst sie aber nicht im mindesten Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 22:41

Austrianer

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} r_{1}=1/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{2}=2/3 \end{eqnarray*}$

Bitte noch einmal kurz zurück zum Vergleich!?

Zuerst verwendet man die Vorfaktoren der Minuenden(li u. re) und dann die Subtrahenden(li u. re) !?

15.02.2011, 22:46

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Austrianer
$\begin{eqnarray*} r_{1}=1/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{2}=2/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Austrianer
Bitte noch einmal kurz zurück zum Vergleich!?

Vergleichen mit?

Zitat:

Original von Austrianer
Zuerst verwendet man die Vorfaktoren der Minuenden(li u. re) und dann einfach den Subtrahenden(li u. re) !?

Dem kann ich gar nicht folgen, was willst du damit sagen? verwirrt

verwirrt

15.02.2011, 22:50

Austrianer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir noch immer nicht sicher wie wir die Gleichungen aufstellen!?

x1: Die Vorfaktoren von x
x0: Den Rest oder wie darf ich das verstehen?

15.02.2011, 22:57

Equester

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Zitat:

Original von Austrianer
x1: Die Vorfaktoren von x
x0: Den Rest oder wie darf ich das verstehen?

Korrekt

Freude

$\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$

Ich hab es nur so "komisch" geschrieben, damit klar wird, nach was geordnet wird.

"Der Rest" ist halt mit x^0 (oder einfach "1") verknüpft Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 23:00

Austrianer

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Was ist der nächste Schritt?

In die zwei Brüche mit r1 und r2 rückeinsetzen, welche wir am Anfang bestimmt haben?

15.02.2011, 23:01

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimmt

Big Laugh

Hört sich an, als hätten wir dafür was getan.

Aber um der Sache mit den nötigen Ernst zu begegnen -> Ja.
Mach mal. Das Integrieren sollte ja nun nur noch ein Klacks sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 23:07

Austrianer

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Kann man mit diesem Formeleditor auch Brüche darstellen?

15.02.2011, 23:08

Equester

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code:
1: 2: 3:	[latex]\frac{Zähler}{Nenner}[/latex]

Natürlich

Big Laugh

15.02.2011, 23:10

Austrianer

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Kann es sein, dass die Lösung aus meinem Buch falsch ist?

Ich bekomme nämlich keine 2 im Zähler!?

15.02.2011, 23:12

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erinnere mich, dass du zu mir sagtest: $\begin{eqnarray*} r_2=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ Teufel

Teufel

15.02.2011, 23:15

Austrianer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Müdigkeit ist da Tanzen

Tanzen

Ich habe r1 und r2 vor das Integral gezogen und dort falsch gekürzt *gg*

Hast du noch Lust, die Grenzwertmethode zu machen*frech_frag*?

15.02.2011, 23:20

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Um diese Uhrzeit schon? Big Laugh

Big Laugh

Gut, die Lösung per Koeffizientenvergleich ist geschafft und richtig.
War aber wohl leider nicht ganz nach Lehrplan.

Machen wirs also so wie dus gelernt hast Big Laugh

Big Laugh

Ich habe hier einen kleinen Text (selbstgeschrieben! Big Laugh

Big Laugh

): Mit Beispiel. Damit sollte dir einiges
klarer werden. Wende das auf unser Beispiel an!

Grenzwertmethode

Gegeben sei folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1} \end{eqnarray*}$

Wir haben hier nur einfache reelle Nullstellen und somit lassen sich beide Koeffizienten
nach der Grenzwertmethode bestimmen.

Um a zu bestimmen, werden beide Seiten mit dem zugehören Linearfaktor (hier: (x-1)) multipliziert.
Damit wird sogleich gekürzt und folgendes bleibt stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+3}{x+1}=a+\frac{b(x-1)}{x+1} \end{eqnarray*}$

Nimmt man nun den Grenzwert, sagt $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2+3}{2}=a+b\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} a=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ .

Für b wird genau dasselbe Verfahren verwendet. Es wird mit dem zugehörigen
Linearfaktor (hier: (x+1)) multipliziert und dann der Grenzwert genommen.
Es gilt für $\begin{eqnarray*} x\to -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2+3}{-2}=a\cdot 0+b=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Partialbruchzerlegung lautet demnach:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{\frac{5}{2}}{(x-1)}+\frac{-\frac{1}{2}}{(x+1)}=\frac{5}{2}\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)} \end{eqnarray*}$

So, wie sieht das bei unserem Beispiel aus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2011, 23:25

Austrianer

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a und b = $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ ?

15.02.2011, 23:26

Equester

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Wenns nur daran hängt, ists ja recht Big Laugh

Big Laugh

Ja

Augenzwinkern

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