Diskussion der Funktion lnx/x

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15.02.2011, 21:43	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskussion der Funktion lnx/x Meine Frage: Gegeben ist lnx/x Ich muss nun Grenzverhalten, Wendepunkte, Extrema und die Nullstellen berechnen. Bitte um Hilfe. Meine Ideen: Also schon das Grenzverhalten bereitet mir Probleme. Einmal muss ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } x \end{eqnarray}$ und einmal zu $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \-infty} x \end{eqnarray}$ machen. Aber mehr weiß ich nicht. Für den Rest brauche ich erst mal die erste Ableitung Keine Ahnung!
15.02.2011, 22:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Grenzwert ermittelst du recht effizient mittels der Regel von L'Hospital. Die Ableitung einfach mit der Bruchregel. Stelle zunächst die Definitionsmenge (!) für diese Funktion auf! Kannst du einmal damit anfangen? Wir helfen dir, wenn wir sehen, wo es hakt. Auch ein Plot (oder Skizze des Graphen) kann nicht schaden! mY+
15.02.2011, 22:03	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von der $\begin{eqnarray} f(x)=\frac {ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac {ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ einmal L'Hospital anwenden um die Extrema, Wendepunkte etc zu bekommen ableiten $\begin{eqnarray} f(x)=\frac {ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ mithilfe der Quotientenregel ableiten
15.02.2011, 22:15	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definitionsmenge ist R +. Mit der Regel von L'Hopital kann ich leider nichts anfangen, habe ich noch nie gehört. Erste Ableitung: f`(x) = (1/x x+ lnx 1)/ x^2 Richtig?
15.02.2011, 22:23	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
- statt + im Zähler L'Hospital ist einfach ausgedrückt einfach Zähler und Nenner unabhängig von einander ableiten
15.02.2011, 22:27	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh okay richtig! kann ich da dann noch was zusammenfassen? Also die Ableitung von lnx ist 1/x und die von x einfach 1. Und was hilft mir das dann bei den Grenzwerten?
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15.02.2011, 22:29	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
1/x/1 ist 1/x und das geht für x gegen unendlich gegen? kann man auch begründen dass man sagt dass der ln(x) zwar stetig wächst aber wesentlich schwächer als x
15.02.2011, 22:32	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
geht doch gegen null oder? und was ist bei - unendlich? gegen - unendlich?
15.02.2011, 22:35	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt für -unendlich erhältst du gar nichts da der ln für negative werte undefiniert ist Grenzwert habm wir mal nun jetzt die ganzn Extremas etc.
15.02.2011, 22:39	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, okay. Also f´ = 0 setzen -> (1/x x - lnx 1)/ x^2 = 0 kann ich jetzt hierbei zähler oder nenner unberücksichtigt lassen?
15.02.2011, 22:44	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß nicht was du mit unberücksichtigt meinst der Nenner darf auf alle Fälle nicht 0 werden
15.02.2011, 22:47	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
(x/x - lnx)/ x^2 = 0 weiter komm ich nicht
15.02.2011, 22:54	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
x/x da kann man kürzen die gleichung x/x - lnx = 0 wirst du wohl auflösen können
15.02.2011, 22:57	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
1-lnx = 0 1 = lnx 1/ln = x geht doch gar nicht
15.02.2011, 22:58	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du keine Gleichung mit ln(x) auflösen?
15.02.2011, 23:03	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
lnx = 1 e^lnx = e^1 x = e
15.02.2011, 23:06	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das ist schonmal ein extremum dann noch die Wendepunkte
15.02.2011, 23:10	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich das nicht erst in die zweite Ableitung einsetzen, um ein Extremum zu erhalten? Für den Wendepunkt brauch ich aufjedenfall die dritte Ableitung.
15.02.2011, 23:15	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
du weißt dass an der stelle x=e ein Extremum existiert ! wenn du in die zweite Ableitung einsetzts weißt du dann ob dieses Extremum ein Minimum oder Maximum ist für den Wendepunkt wird dann die 2te Ableitung null gesetzt und nach x aufgelöst und in die 3te eingesetzt um zu überprüfen ob wirklich ein Wendepunkt an dieser Stelle existiert
15.02.2011, 23:21	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
(1/x x - lnx 1)/ x^2 f´´(x) = (-1/x^2 * x - lnx * 0) oh gott hilfe, wie geht die zweite Ableitung? das ist doch so kompliziert...
15.02.2011, 23:24	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
schreibs dir lieber so hin $\begin{eqnarray} f'(x)=x^{-2}-ln(x)x^{-2} \end{eqnarray*}$ das nun ableiten
15.02.2011, 23:38	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
f´´(x) = -1/x^2 - 1/x * x^-2 + lnx * -1/x^2
15.02.2011, 23:43	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
-1/e^2 - 1/e * x^-2 + lne * -1/e^2
15.02.2011, 23:56	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst das ableiten noch besser üben ist am anfang natürlich ungewohnt aber durch Üben bekommt man das schnell intus ich rechnes dir mal vor $\begin{eqnarray} f'(x)=x^{-2}-ln(x)x^{-2} \end{eqnarray}$ abgeleitet ist $\begin{eqnarray} f''(x)=-2x^{-3}-\frac{1}{x}x^{-2}+ln(x)2x^{-3} \end{eqnarray}$ vereinfacht $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{2ln(x)-3}{x^{3}} \end{eqnarray*}$ dann für x=e einsetzen
16.02.2011, 00:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kawarider90 Ich möchte dich darauf aufmerksam machen, dass hier NICHT(s) vorgerechnet wird. Du solltest das Prinzip des Forums eigentlich schon kennen! Über eine Abhandlung mittels eines ähnlichen Testbeispieles (mit anderen Angaben) kann man noch reden ... mY+
16.02.2011, 09:13	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe. Verstehe aber nicht, wie man die zweite Ableitung vereinfacht darstellen kann ( so wie du es gemacht hast).
16.02.2011, 11:21	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry mythos yannik, kannst du die zweite Ableitung nachvollziehen? $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}=x^{-1} \end{eqnarray}$ das ist das selbe nur eine andere schreibweise also ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3}=x^{-3} \end{eqnarray}$ und ich hab diesen ausdruck einfach ausgeklammert
16.02.2011, 12:58	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich kann dir folgen Verstehe nur den kleinen Punkt nicht, warum es bei der dritten Ableitung nicht -2 * x^-3 - 1/x * x^-2 + lnx * (-2) * x^-3 heißt?
16.02.2011, 13:11	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -2 x^{-3} - \frac{1}{x} * x^{-2} - ln(x) * (-2) * x^{-3} \end{eqnarray*}$ das wär die zweite ableitung nicht die dritte leit die zweite Ableitung mal ab und ich sag dir obs stimmt oder was du falsch machst
16.02.2011, 21:06	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
habe mich verschrieben, ich meinte die zweite Ableitung, da muss also schon -2 hin oder? bei deiner ersten Lösung hast du nämlich nur 2!
16.02.2011, 21:25	Kawarider90	Auf diesen Beitrag antworten »
Unfug - mal - ergibt +
16.02.2011, 21:36	yannik	Auf diesen Beitrag antworten »
okay jetzt sehe ichs! Danke für die Klärung aller Fragen!
26.02.2015, 23:20	Andreas090	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertermittlung Aber man sieht doch schon am Graphen, dass dieser für x gegen 0 gegen - unendlich konvergiert. Da kann doch was nicht stimmen...
27.02.2015, 00:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittlerweile sind 4 Jahre vergangen ... Allerdings steht in der Angabe, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ zu ermitteln ist und nicht für $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ mY+

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