Faltung X-Y, X,Y unabh. und exp. Verteilt

16.02.2011, 01:19

Eudoxus

Faltung X-Y, X,Y unabh. und exp. Verteilt

Meine Frage:
X und Y sind Zufallsvariabeln und exp. Verteilt, also p(x)=1/a*exp(-t/a)

Die Aufgabe ist die Dichtefunktion von X-Y anzugeben.

Meine Ideen:
Ich habe mir P(X-Y<t) angeschaut.
Das ist das Integral über der Menge X-Y<t von p(x,y)d(x,y)

Man kann das nun so umformen, dass man p(x)=integral von p(x+y)*p(y) dy hat.

In diesem Fall kommt bei mir dann aber eine negative Dichte raus.
(integral von 1/a²*exp(-(x-2y)/a) ist halt negativ...)

Wo ist mein Fehler?

(Der Vorgang ist quasi genau so im skript für X+Y angegeben.. ohne diese konkrete Bsp der Exp. Verteilungen...
Was ich dabei aber schonmal nicht so ganz verstehe, wieso die Dichte der Faltung X-Y oder von mir aus auch X+Y dann nur p(x) ist, also nur von dem Wert der X-Zufallsvariable abhängt..
das y steht zwar in der Dichte zwangsläufig mit drin, weil da ja nach y integriert wurde, aber was ist das dann? eine konstante?

16.02.2011, 08:01

HAL 9000

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Ich sehe ja deine konkrete Rechnung nicht, aber wahrscheinlich basiert der Fehler darauf, dass die Dichte in Wahrheit NICHT $\begin{eqnarray*} p(t) = \frac{1}{a}\cdot \exp\left( -\frac{t}{a} \right) \end{eqnarray*}$ ist, sondern

$\begin{eqnarray*} p(t) = \begin{cases} \frac{1}{a}\cdot \exp\left( -\frac{t}{a} \right) & \;\textrm{für}\; t\geq 0 \\ 0 & \;\textrm{für}\; t<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist. Das wird bei solchen Faltungsberechnungen gern vergessen.

16.02.2011, 09:01

René Gruber

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Zitat:

Original von Eudoxus
(integral von 1/a²*exp(-(x-2y)/a) ist halt negativ...)

Wie kommst du denn darauf? geschockt

16.02.2011, 11:13

Eudoxus

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Sorry da steht natürlich exp(-(x+2y))dy

16.02.2011, 11:30

Eudoxus

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Ok das Integral ist innerhalb bestimmter Grenzen natürlich trotzdem positiv... und mit HAL's Tipp geht das dann sicher irgendwie...
Danke

16.02.2011, 12:57

Eudoxus

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Hmmm eine Frage bleibt jedoch:

Mit euren Tipps hab ich jetzt raus dass die Dichte der Faltung X-Y: p(x) wieder einfach exp Verteilt ist.

Meine Frage ist vielleicht etwas naiv aber... wieso hängt das nur von x ab?

Ich versuche meine Rechnung mal hier aufzuschreiben (ich weiß allerdings nicht wie man Formeln schreibt, hoffe das ist trotzdem nachvollziehbar):

P(X-Y<t) = Int{X-Y<t} p(x,y)d(x,y) = Int(Int{X-Y<t} p(x,y)dx)dy

=Int(Int{X<t} p(x+y,y)dx)dy

=Int(-oo,t)(int p(x+y,y)dy)dx

Daraus folgt nun dass p(x)=int(p(x+y,y)dy

mit der Exp verteilung ist das

p(x)=1/a²int(0,oo) exp(-(x+2y)/a)dy für t >0, p(x)=0 sonst

das ergebnis mit den eingesetzten grenzen ist dann p(x)=1/a*exp(-x/a) für t>0, 0 sonst.

Kann mir jemand erklären warum nun die Faltung nur von der x Variable abhängt?
Bzw.. Vielleicht verstehe ich nicht ganz was p(x) in diesem Fall eigentlich ist?!

16.02.2011, 13:05

René Gruber

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Zitat:

Original von Eudoxus
Mit euren Tipps hab ich jetzt raus dass die Dichte der Faltung X-Y: p(x) wieder einfach exp Verteilt ist.

Das stimmt nicht - z.B. nimmt $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ auch negative Werte an, was bei exponentialverteilten Zufallsgrößen unmöglich ist. unglücklich

Außerdem verstehe ich deine Symbolik nicht:

Du verwendest die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ für die Dichte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , und auch für die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ - soweit Ok, da beide identisch verteilt sind.

Aber wieso verwendest du von vornherein genau dieselbe Bezeichnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ für die Dichte von $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ , so wie hier geschehen:

Zitat:

Original von Eudoxus
p(x)=1/a²int(0,oo) exp(-(x+2y)/a)dy für t >0, p(x)=0 sonst

Diese selbe Bezeichnung zu verwenden ist doch blanker Unsinn, solange du die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ noch gar nicht kennst! Und am Ende (s.o.) stellt sich das ja auch als falsch heraus.

16.02.2011, 13:31

Eudoxus

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Da steht wirklich p(x), das ist keine Nachlässigkeit.

Int(-oo,t)(int p(x+y,y)dy)dx

Das äußere Integral entspricht einer Verteilungsfunktion in der Variable X.

Also sagen wir F(x)=Int(-oo,t)(int p(x+y,y)dy)dx

Wenn man das ableitet auf beiden Seiten steht da halt

p(x)=(int p(x+y,y)dy)

Genau so wurde das auch in meinem Skript gemacht.

Dein Einwand stimmt allerdings, die Dichte müsste also auch im negativen Bereich positiv sein..
Meinen Fehler sehe ich aber nicht..

16.02.2011, 13:40

René Gruber

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Ich bezeichne die Dichte von $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ mal mit $\begin{eqnarray*} f_{X-Y} \end{eqnarray*}$ , denn die ist NICHT gleich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , egal was du sagen magst, denn die Rechnung beweist es:

Es ist laut Faltungsformel

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x+y)p(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ sowie unter Berücksichtigung der Intervalle, wo sowohl $\begin{eqnarray*} p(y) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} p(x+y) \end{eqnarray*}$ von Null verschieden sind, gilt

$\begin{eqnarray*} f_{X-Y}(x) &=& \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{a}\cdot \exp\left( -\frac{x+y}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\cdot \exp\left( -\frac{y}{a} \right) ~ \dd y = \frac{1}{a^2}\cdot \int\limits_0^{\infty} \exp\left( -\frac{x+2y}{a} \right) ~ \dd y\\ &=& \frac{1}{a^2}\exp\left( -\frac{x}{a} \right) \cdot \Bigg[ -\frac{a}{2} \exp\left( -\frac{2}{a} y \right) \Bigg]_{y=0}^{\infty} = \frac{1}{2a}\exp\left( -\frac{x}{a} \right) \end{eqnarray*}$ ,

das ist mitnichten die Exponentialverteilung, denn da steht noch ein zusätzlicher Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die Ursache dafür findet man, wenn man auch mal den Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ durchrechnet, dort ist dann

$\begin{eqnarray*} f_{X-Y}(x) &=& \frac{1}{a^2}\cdot \int\limits_{-x}^{\infty} \exp\left( -\frac{x+2y}{a} \right) ~ \dd y = \ldots \end{eqnarray*}$ .

16.02.2011, 14:27

Eudoxus

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Jep hatte die Rechnung genau so wie du, nur ohne 1/2 ...
und mir dann gedacht : das ist ja wieder die exp verteilung...
aber eben nicht, da ja diesmal auf ganz R defniert Big Laugh

Ach ich bin doch ein bisschen verwirrt, aber ich lerne auch im Moment für die Klausur und das war nur eine Aufgabe von vielen, habe also keine Zeit mich immer weiter damit zu beschäftigen smile

Das ich mit p(x) p_X-Y(x) meinte musst du mir aber glauben, ich wollte nicht implizieren, dass das das gleiche p ist wie p_X oder p_Y. nur dass das p nur von x abhängt. also... irgendwie zu mindest... indirekt ja natürlich auch von y...
Warum eine im Grunde 2-dimensionale Dichte nur in einer Variable beschreiben kann verstehe ich immer noch nicht so 100%

16.02.2011, 15:07

René Gruber

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Zitat:

Original von Eudoxus
Das ich mit p(x) p_X-Y(x) meinte musst du mir aber glauben,

Ich glaube nicht nur, sondern weiß, dass das falsch ist - du hast das Symbol p(x) schon "verbraucht" als Dichte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Es dann ebenfalls auch als Symbol für die Dichte von $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ zu nehmen UND partout nicht einsehen zu wollen, dass man das nicht machen darf, ist für mich einigermaßen erschütternd. unglücklich

Zitat:

Original von Eudoxus
Ach ich bin doch ein bisschen verwirrt, aber ich lerne auch im Moment für die Klausur und das war nur eine Aufgabe von vielen, habe also keine Zeit mich immer weiter damit zu beschäftigen

Übersetzt: "Also eigentlich interessiert mich der ganze Scheiß sowieso nicht". Na fein, dann lassen wir es eben bleiben, auch gut.

16.02.2011, 16:04

Eudoxus

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Also ob ich das nun p_X-Y(x) oder f_X-Y(x) nenne macht doch überhaupt keinen Unterschied? Ist doch nur eine Bezeichnungsfrage.
In beiden Fällen ist einfach die Dichte der Verteilung X-Y in Abhängigkeit des Parameters x Gemeint.

(Und ja, das verstehe ich nicht. Wieso kann man das in Abhängikeit EINES der beiden involvierten Parameter schreiben?)

Wenn mich das nicht interessieren würde, würde ich nicht fragen.

Warum du dich aufregst, verstehe ich nicht. smile

Habe einfach nicht die Zeit 4 Stunden daran zu sitzen, deswegen frage ich ja hier nach.

16.02.2011, 17:03

René Gruber

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Zitat:

Original von Eudoxus
Also ob ich das nun p_X-Y(x) oder f_X-Y(x) nenne macht doch überhaupt keinen Unterschied?

Verdrehe und verleugne jetzt bitte nicht den bisherigen Threadverlauf:

Gegen p_X-Y(x) habe ich nie was eingewandt, sondern gegen die bloße Verwendung ein- und desselben p(x) für zwei unterschiedliche Verteilungsdichten. Sowas geht in der Übersicht irgendwann gegen den Baum.

Zitat:

Original von Eudoxus
Habe einfach nicht die Zeit 4 Stunden daran zu sitzen, deswegen frage ich ja hier nach.

Das interessiert mich herzlich wenig, ob und wieviel Zeit du investieren willst. Die Frage ist: Willst du die Thematik verstehen oder nicht.

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