Vektoren: Kräfte berechnen

16.02.2011, 06:05	mathe15965	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren: Kräfte berechnen Hallo habe ein paar Probleme bei folgender Aufgabe: Im Punkt D ( 1 , 3 , -1 ) ist ein Haken befestigt, von dem aus drei Stahlseile nach den Punkten: A ( 2 , 1 , 1 ) B ( -7 , 4 , 3 ) C ( -1 , 9 , 2 ) gespannt sind. Die entsprechenden Zugkräfte in den Seilen haben folgende Beträge: FA = 21000 N FB = 9000 N FC = 14000 N Berechnen Sie Komponenten und Betrag der in D angreifenden Gesamtkraft. Meine Idee: Habe erstmal eine Skizze angefertigt um mir das bildlich besser vorstellen zu können. Dann hab ich die Vektoren: $\begin{eqnarray} \vec{DA}= \begin{pmatrix} 2-1 \\ 1-3 \\ 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DB}= \begin{pmatrix} -7-1 \\ 4-3 \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DC}= \begin{pmatrix} -1-1 \\ 9-3 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gebildet. Jetzt habe ich die Winkel berechnet: Nach der Formel: cos = $\begin{eqnarray} \frac{\vec{DA \vec{ey} } }{\| \vec{DA}\| * \vec{ey} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}3 =\frac{-2}{3} = 131,81 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}9 =\frac{1}{9} = 83,62 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}7 =\frac{6}{7} = 31 \end{eqnarray}$ Danach habe ich mit den Winkeln die y und z Komponenten der 3 Einzelkräfte berechnet. $\begin{eqnarray} \vec{DA y} = 21000 N * cos (\frac{-2}{3} ) = -14000 N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DB y} = 9000 N * cos (\frac{1}{9} ) = 1000 N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DC y} = 12000 N * cos (\frac{6}{7} ) = 12000 N \end{eqnarray}$ z Komponenten: $\begin{eqnarray} \vec{DA z} = 21000 N * cos (131,81) = 15652,55 N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DB z} = 9000 N * cos (83,62) = 8944,26 N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{DC z} = 14000 N * cos (31) = 7210,53N \end{eqnarray*}$ Bei den Winkeln bin ich mir nicht sicher ob die so stimmen. Ob mein ey das ich in der Formel benutzt habe wirklich so liegt bin ich mir auch nicht sicher. Hab einfach angenommen das ey so liegt wie im Bild 2 . Außerdem weiß ich nicht wie man die x Achse noch mit rein bringt.
16.02.2011, 10:36	Gast 29	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren: Kräfte berechnen Du brauchst keine Winkel Nimm die Einheitsvektoren in die jeweilige Kraftrichtung
16.02.2011, 16:30	mathe15965	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs mit den Einheitsvektoren hinbekommen danke . $\begin{eqnarray} eDA = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{-2}{3} \\ \frac{2}{3} \end {pmatrix} 21000 N = \begin{pmatrix} 7000 N \\ -14000 N \\ 14000 N \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} eDB = \begin{pmatrix} \frac{-8}{9} \\ \frac{1}{9} \\ \frac{4}{9} \end {pmatrix}* 9000 N = \begin{pmatrix} -8000 N \\ 1000 N \\ 4000 N \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} eDC = \begin{pmatrix} \frac{-2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end {pmatrix}* 14000 N = \begin{pmatrix} -4000 N \\ 12000 N \\ 6000 N \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{FD} = eDA + e DB + eDC =\begin{pmatrix} -5000 N \\ -1000 N \\ 24000 N\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \vec{FD} \| = \sqrt{5000 N ^2+1000 N ^2+24000 N ^2} = 24535,688 N \end{eqnarray*}$ Frage: Kann man es auch mit Winkeln berechnen ?

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