atomarer zerfall

28.11.2006, 16:07

N3M0

atomarer zerfall

Die Halbwertzeit des radioaktive Elementes Radium beträgt 1580 Jahre.

a) Wie viel % des Elementes sind nach 100 Jahren durch Strahlung zerfallen?

b) Wie viele Jahre dauert es, bis nur noch 10% des radioaktiven Materials vorhanden sind?

wie sollen das irgendwie mit geometrischen folgen und reihen berechen, aber ich hab keine ahnung wie...

28.11.2006, 16:17

derkoch

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die formel für den radioaktivenzerfall ist:

$\begin{eqnarray*} N(t) = N_o \cdot e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

nu kannst du überlegen welche größen diese jeweils dastellen

28.11.2006, 16:21

N3M0

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das muss irgendwie mit:

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1\cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} s_n=a_1\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

gehen. zumindest laut buch.

28.11.2006, 19:42

mYthos

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Normalerweise wird so etwas mit derkoch's Formel berechnet, aber es hat natürlich auch etwas mit einer geometrischen Folge zu tun, wenn es nur um ganze Jahre geht.

Die prozentuelle Abnahme pro Jahr kann mittes des Faktors

$\begin{eqnarray*} v = 1 - \frac{p}{100} \end{eqnarray*}$

beschrieben werden, damit ist die noch verbleibende Menge nach n Jahren

$\begin{eqnarray*} a_n = a_0 \cdot v^n \end{eqnarray*}$ .. [ $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ Anfangsmenge]

Jetzt musst du darin die Halbwertszeit unterbringen, d.h. nach 1580 Jahren beträgt $\begin{eqnarray*} a_{1580} = \frac{a_0}{2} \end{eqnarray*}$ . Daraus kann v berechnet werden ...

Die Methode hat jedoch einen großen Nachteil: Die Basis v gerät sehr nahe an 1 und das kann bei Rundungsfehlern arge Probleme bereiten! Sh. in diesem Zusammenhang den Thread

Lufthochdruck-Aufgabe

mY+

29.11.2006, 12:57

N3M0

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ich habs jetzt so gemacht (nach reichlich hin und her^^):

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50%=100%*q^{1580} \end{eqnarray*}$

und dann nach q aufgelöst und an für x% gerechnet

29.11.2006, 14:52

mYthos

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Zitat:

Original von N3M0
ich habs jetzt so gemacht (nach reichlich hin und her^^):

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50%=100%*q^{1580} \end{eqnarray*}$

und dann nach q aufgelöst und an für x% gerechnet

Die Formel stimmt nur dann, wenn für

$\begin{eqnarray*} a_1=a_0*q \end{eqnarray*}$

gesetzt wird. Denn am Ende des ersten Jahres ist nicht mehr die Anfangsmenge, sondern etwas weniger vorhanden.

Damit ist

$\begin{eqnarray*} a_n=a_0*q^{n} \end{eqnarray*}$

Oder wenn du mit 0 beim Zählen beginnst, muss für n - 1 = 1580 gesetzt werden, wodurch du (unwissentlich) den Fehler wieder gutgemacht hast.

Deine Rechnung liefert weiters dann

$\begin{eqnarray*} 0.5 = q^{1580} \end{eqnarray*}$

was identisch zu meiner Gleichung in v ist. Dir ist schon klar, dass q hier kleiner als 1 ist und daher eigentlich v zu setzen ist. Den Prozentsatz des Zerfalls bekommst du dann nur mittels (1 - v) und nicht etwa mit 1/(1 - q').

Und das Problem mit der Basis nahe an 1 ist natürlich weiter evident, also musst du sehr genau (mit allen Stellen!) rechnen.

mY+

29.11.2006, 21:14

N3M0

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ich runde grundsätzlich nicht sondern speichere die zwischenwerte. hierbei liegt man nämlich ruck zuck ein paar jahre daneben. das mit a0 war mir schon klar, man fängt ja bei jahr 0 an mit 100%, ich hab halt nur die original formel aus meinem mathebuch genommen und dann eingesetzt.

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