Ableitung e^(-1/x) beweisen

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16.02.2011, 13:24	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung e^(-1/x) beweisen Hallo Ich versuche gerade zu zeigen,dass die Funktion $\begin{eqnarray} e^{\frac{-1}{x} } \end{eqnarray}$ im 0 Punkt diffbar ist. Ich habe es mit dieser Methode versucht,jedoch komme so nicht hin. Die Funktion ist an der Stelle 0 diffbar,wenn der Limes $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{e^{\frac{1}{x+h} } -e^{\frac{1}{x} } }{h} \end{eqnarray}$ Ist das überhaupt korrekt mir dieser Definition?
16.02.2011, 13:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung e^(-1/x) beweisen Deine Funktion hat an der Stelle x=0 eine Definitionslücke, ist dort also gar nicht definiert, warum sollte sie dann dort differenzierbar sein?
16.02.2011, 13:32	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man ich Depp Habe gerade ein altes Prüfungsprotokoll vor mir(nicht von mir natürlich) und das stand da so. Vielleicht sollte ich einfach mal mitdenken Aber sollte ich die diffbarkeit an einer anderen Stelle zeigen,müsste icj eben diesen Limes untersuchen?
16.02.2011, 13:34	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, und dann von rechts und von links, also einmal für h>0 und einmal für h<0.
16.02.2011, 13:51	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mus ich zeigen,dass der rechtsseitige Grenzwert gleich dem Linksseitigen ist undd dann wäre ich fertig?
16.02.2011, 13:56	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Grenzwerte des Differentialquotienten meinst ja, dann bist du fertig.
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16.02.2011, 20:40	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
habe gerade in meinem Buch gelesen,dass die Funktion doch in 0 diffbar ist und generell eine Funktion diffbar in einem Punkt,den sie garnicht animmt, jetzt bin ich total verwirrt... KAnn jemand was dazu sagen?
16.02.2011, 21:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-\frac{1}{x}},\quad x\neq 0 \end{eqnarray}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ weder stetig noch stetig ergänzbar, und zwar wegen des linksseitigen Grenzwertes $\begin{eqnarray} \lim_{x\to -0} f(x) = \infty \end{eqnarray}$ . Schau also lieber nochmal sorgfältig nach, wie die Funktion wirklich aussieht, und zwar komplett!
17.02.2011, 13:30	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Funktion ist so definiert. f(x)=o für x<=0 und $\begin{eqnarray} f(x)=e^{\frac{-1}{x} } \end{eqnarray}$ für x>0 Nun soll ich zeigen,dass die Funktion in 0 diffbar ist. Wie geht das denn nun,sitze schon ewig dran.
17.02.2011, 13:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dann aber schon wieder eine andere Funktion, denn nun haben wir die Funktion für x=0 definiert, achte in Zukunft darauf, die Aufgabe sauber zu notieren. Nun bestimme den Differentialquotienten an der Stelle x_0=0, wie schaut der aus?
17.02.2011, 13:52	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=\lim_{ h\to 0}\frac{e^{\frac{-1}{x+h} } -e^{\frac{-1}{x} } }{h} =e^{\frac{-1}{x} } \lim_{h \to 0} \frac{e^{\frac{-1}{h} }-1 }{h} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} e^{\frac{-1}{h} } =0 \end{eqnarray}$ existiert der Grenzwert und daher diffbar in 0 ????
17.02.2011, 13:57	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch nun Humbug, es ist doch f(0)=0, so ist die Funktion definiert. Bilden des Differentialquotienten führt dann auf $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{h}}-0}{h} \end{eqnarray}$ .
17.02.2011, 13:59	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
ja schon, aber ich dachte ich gehe gegen 0 und nicht genau 0,weill ja ein Bruch durch 0 nicht definiert ist.
17.02.2011, 14:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die Funktion ist doch $\begin{eqnarray} f(x)=\exp(\frac{-1}{x}) \textbf{ für } x>0 \wedge f(x)=0 \textbf{ für } x \leq 0 \end{eqnarray}$ Also im Besonderen ist f(0)=0, wenn wir an der Stelle x_0=0 auf differenzierbarkeit untersuchen sollen, dann sollten wir auch den Funktionswert nehmen, den f an der Stelle 0 annimmt und der ist nach Definition von f 0.
17.02.2011, 14:05	Anfänger 2010	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden
17.02.2011, 14:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch Fragen zu dieser Aufgabe? Bin gleich offline, also wenn dann jetzt....

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