Definition des Kerns/Bild/Rang |
| 16.02.2011, 13:05 | laura 1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Definition des Kerns/Bild/Rang Hallo ein beispiel vorweg \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &1\\ 1 & 0 & 1 &1 \\ 1 & 0 & 0 &1 \\ \end{pmatrix} der max rang ist 3 der kern ist 1 Dimensionsformel: Bild(A) + Kern (A) = Rang (A) also : Bild +1 = 3oder nicht ? demnach müsste das Bild die Dim 2 haben was unlogisch ist weil die linear unabängige gleichungen einen raum des R³ Aufsapnnen. Kann mmir da jemand behilflich sein, freue mich auf antworten Meine Ideen: leider keine idden =( |
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| 16.02.2011, 13:29 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Definition des Kerns/Bild/Rang
Was soll denn bedeuten "der Kern ist 1"? 
Meinst du Dimension des Kerns? Und wieso maximaler Rang (also der ist tatsächlich 3), aber was ist denn mit dem tasächlichen Rang, ist er gleich dem maximalen? Und wie kommt die Dimensionsformel so zustande (hab ich in der Form noch nie gelesen, stimmt aber auch nicht), mal ganz unbahängig davon, dass das Bild eine Menge von Vektoren ist und der Kern ebenfalls, es also bestenfalls heißen müsste dim(Bild(A)) + dim(Kern (A)) = Rang (A) Die Dimension des Kerns der Abbildung ist 1, das Bild hat die Dimension 3 und der Rang ist 3, setzen wir das in deine "Dimensionsformel" ein erhalten wir: 3+1=3 und das kann ja nicht stimmen. Also, alles noch mal von vorne. |
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| 16.02.2011, 14:31 | laura1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok ich glaub ich habe mich da irgendwo verlaufen 
dann lass mich mal die fragen anders stellen: Was versteht man unter dem Nullraum/dem Kern von A? also so wie ich das verstanden habe ist sind die die vektoren die mit A*x = 0 beschrieben werden können und ausserdem linear abhängig sind. Was versteht man unter der Bildmenge/dem Bildraum von A? das versteh ich so das dass die vektoren sind, welche linear unabhängig sind und somit den raum aufspannen. jetzt verstehe ich nur nicht wie der maximale rang eine matrix mit diesen beiden sachen zusammenhängt 
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| 16.02.2011, 15:06 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Kern einer Abbildung ist die Menge aller x für die gilt f(x)=0. Also für unsere lineare Abbildung die durch die Matrix A dargestellt wird bedeutet das, dass die Menge aller Vektoren x gesucht wird, die die Gleichung Ax=0 erfüllen. Zumeist ist "nur" eine Basis des Kerns von Bedeutung, wie in jedem Vektorraum. Alle Elemente des Kerns lassen sich dann eindeutig als Linearkombination der Basiselemente darstellen. Ist A die Abbildungsmatrix eine linearen Abbildung V -> W, so ist das Bild die Menge aller Vektoren w aus W für die gilt, dass es einen Vektor x aus V gibt, so dass Ax=w. Auch hier ist man meist nur an einer Basis interessiert, aus oben genanntem Grund. Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren (man könnte auch Zeilen- und Spaltenvektoren schreiben) und es gilt Zeilenrang=Spaltenrang. Deine Matrix beschreib eine Abbildung , der Rang der Matrix ist 3, da die Zeilenvektoren linear unabhängig sind. Da wir 4 Spalten haben ist eine Variable zu parametrisieren und wir erhalten für den Kern eine Dimension von 1 (das ist die Anzahl der Parameter). Das Bild hat eine Dimension von 3, wie sich leicht nachprüfen lässt. Nun gilt: Dim(V)=Dim(Kern (f))+Dim (im (f)) (Kern-Bild-Satz) In unserem Fall also 4=1+3, was auch richtig ist. Was nun der Rang damit zu tun hat kannst du dir ja mal überlegen 
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