orthogonale Transformationsmatrix

16.02.2011, 15:59	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Transformationsmatrix hallo, ich habe folgende matrix gegeben: $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb Q^{3 \times 3} \end{eqnarray}$ und möchte davon eine orthogonale transformationsmatrix bestimmen, die meine matrix in diagonalgestalt bringt. ich dachte, dass mir diese aufgabe keine probleme bereitet, aber leider ist dem nicht so. ich berechne also zunächst das char. polynom $\begin{eqnarray} \chi_A=x(x-3)(x+3) \end{eqnarray}$ also sind die eigenwerte der matrix 0,3 und -3. die zugehörigen eigenräume sind $\begin{eqnarray} V(0,A)=span(\begin{pmatrix} 1 \\ \frac12 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(3,A)=span(\begin{pmatrix} -\frac12 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(-3,A)=span(\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ die matrix ist also offensichtlich diagonalisierbar. da es sich bei A um eine symmetrische matrix handelt, und ich 3 paarweise verschiedene eigenvektoren habe, müssten diese eigenvektoren doch eigentlich paarweise orthogonal sein. leider ist dem nicht so, denn es ist für $\begin{eqnarray} T:=\begin{pmatrix} 1 & -\frac12 & -2 \\ \frac12 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T T^{tr}=\begin{pmatrix} \frac94 & 0 & 0 \\ 0 & \frac94 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich verstehe nicht, wo mein denkfehler liegt. die rechnung müsste stimmen, da ich sie bereits mehrere male mit maple/online tools durchgegangen bin. trotzdem erhalte ich keine orthogonale transformationsmatrix. die eigenvektoren im nachhinein mittels gram-schmidt zu orthogonalisieren, stellt kein problem dar. doch eigentlich müssten diese doch schon "von natur aus" orthogonal sein. weiß jemand, wo mein denkfehler liegt? danke schonmal im voraus.
16.02.2011, 16:18	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
An sich hast du alles richtig gemacht. Die Eigenvektoren sind aber erst mal nur paarweise orthogonal. Damit die Matrix also orthogonal wird musst du deine Eigenvektoren noch normieren, damit du Einsen auf der Diagonale erhälst.
16.02.2011, 16:24	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, das macht sinn danke für die schnelle antwort

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