Konvergenzradius Potenzreihe

16.02.2011, 16:07	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Potenzreihe Hallo zusammen, ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei deren Lösung ich mir nicht sicher bin. Es soll der Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnet werden. Hier die Aufgabe und meine Lösung: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{2^{n^{2} } } z^{n} \end{eqnarray}$ Nun habe ich ausgenutzt, dass für den Konvergenzradius p gelten muss: $\begin{eqnarray} p = \lim_{n \to \infty } \| \frac{n!}{2^{n^{2} } } * \frac{2^{(n+1)^{2} } }{(n+1)!}\| = \lim_{n \to \infty } \frac{2^{(n+1)} 2^{(n+1)} }{2^{n}2^{n}(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n+1} = 0 \end{eqnarray}$ Somit wäre der Konvergenzradius 0 und die Reihe divergiert für jedes z. Was sagt ihr? Grüße und Danke Jojo
16.02.2011, 16:37	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die immer wieder festzustellenden Defizite bei Potenzgesetzen sind bedenklich: Es ist $\begin{eqnarray} 2^{n+1} \cdot 2^{n+1} = 2^{2(n+1)} \neq 2^{(n+1)^2} \end{eqnarray}$ .
16.02.2011, 16:41	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt...echt ärgerlich. Ok ich versuchs nochmal. Grüße und Danke Jojo
16.02.2011, 16:55	Jojo12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, nochmal. $\begin{eqnarray} <br /> p = \lim_{n \to \infty } \| \frac{n!}{2^{n^{2} } } \frac{2^{(n+1)^{2} } }{(n+1)!}\| = \lim_{n \to \infty } \frac{2^{(n+1)(n+1)} }{2^{nn}(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n^{2}+2n+1} }{2^{nn}(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n+1} }{(n+1)} = \infty \end{eqnarray}$ Und einfach noch als Begründung, das exponetielles Wachstum stärker ist, als lineares. Oder kann man das noch besser vereinfachen? Grüße Jojo
16.02.2011, 17:37	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das genügt doch vollkommen.

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