Maximum bestimmen

16.02.2011, 16:35	Woohoo_child	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum bestimmen Meine Frage: Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe: In der Mitte über einer kreisförmigen Tischplatte vom Radius r = 1 m hängt eine punktförmige Lichtquelle. Berechnen Sie, in welcher Höhe h über der Tischplatte sie hängen muß, damit die Beleuchtungsstärke B am Tischrand einen maximalen Wert annimmt: B = I cos(µ) / l2 (I .. Lichtstärke, l .. Abstand zwischen Lichtquelle und Tischrand, µ .. Einfallswinkel des Lichts am Tischrand). Meine Ideen: Ich weis nicht ich hätte da erst mal angefangen damit das man den cosµ auch als r/l schreiben kann, dann erhalte ich die Formel: B(l) = I / l³ l hängt über den Lehrsatz von Pythagoras mit h und r zusammen (die drei bilden ein rechtwinkliges Dreieck) und könnte somit auch als (r2 + h2)1/2 geschrieben werden. Da r ja gegeben ist, erhalte ich durch einsetzen eine Funktion: B(h) = I / (1 + h2)3/2 Die hilft mir aber auch nichts, da sie keine Maxima besitzt. Vielleicht ist jemand anders klüger als ich, aber ich werde grad nicht schlau daraus. Entweder die Formel ist falsch, oder mein ganzer Ansatz ist blödsinnig.
16.02.2011, 17:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dir scheint die "^" - Taste zu klemmen. Ansonsten wären alle deine Gleichungen falsch! ________________ Günstig ist es, du stellst die Funktion der Beleuchtungsstärke als Funktion des Winkels dar. Dazu führe den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi = 90° - \mu \end{eqnarray}$ ein, damit du das rechtwinkelige Dreieck besser berechnen kannst. Deshalb auch, weil der Winkel $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ der Einfallwinkel des Lichstrahles gegen die Normale (das Lot!) ist. Mit $\begin{eqnarray} \cos \varphi = \frac 1 l \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = I \frac {\sin \varphi} {l^2} \end{eqnarray}$ ergibt sich dann eine Funktion in $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Nach Vereinfachung der Ansatzfunktion berechnet man diesen Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und kann damit letztendlich $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ermitteln. mY+

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