Relativtopologie

16.02.2011, 20:01

Ibn Batuta

Relativtopologie

Hi,

kurze Frage an euch.

Gegeben seien die topologischen Räume $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit der jeweiligen Standardtopologie und Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \subset B \subset X \end{eqnarray*}$ .

Untersuchen Sie die Offenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} X=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A=[1,2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=[0,5] \end{eqnarray*}$

_______________

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht offen in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , da jede Umgebung von $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(2) \end{eqnarray*}$ Punkte aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält.

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} B\backslash A \end{eqnarray*}$ offen, da in jeder Umgebung keine Punkte aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist beschränkt in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , da sie in der Kugel $\begin{eqnarray*} B_{0.5}(1.5) \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und beschränkt ist, ist es kompakt.

Sind die Begründungen soweit korrekt?

Ibn Batuta

16.02.2011, 22:39

zweiundvierzig

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RE: Relativtopologie

Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht offen in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , da jede Umgebung von $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(2) \end{eqnarray*}$ Punkte aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält.

Dein Gedanke ist richtig. Allerdings ist die Formulierung etwas unglücklich: Die Mengen $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(1), B_\varepsilon(2) \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind schon Umgebungen. Man spricht aber von Umgebungen von Punkten. Außerdem ist "Punkte aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ " zu enthalten an sich zu schwach, denn schließlich liegt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selbst in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Wichtig ist, dass jede Umgebung der Randpunkte nicht gänzlich in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt. Es reicht tatsächlich das für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen zu zeigen, aber wenn Du es ganz allgemein machen willst, musst Du auch allgemeine Umgebungen betrachten (z.B. Vereinigungen von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen).

Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} B\backslash A \end{eqnarray*}$ offen, da in jeder Umgebung keine Punkte aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Hierbei hast Du vermutlich auch die richtige Anschauung, aber die Begründung ist falsch. Man kann natürlich für einen Punkt in $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ eine Umgebung wählen, die $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schneidet. Worauf es ankommt, ist, dass man aber eben für jeden Punkt aus $\begin{eqnarray*} A^C = [0,1) \cup (2,5] \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Umgebung finden kann, die ganz in $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ liegt.

Noch etwas direkter könntest Du übrigens argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, also nach Definition der Unterraumtopologie auch in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist beschränkt in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , da sie in der Kugel $\begin{eqnarray*} B_{0.5}(1.5) \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und beschränkt ist, ist es kompakt.

Beides ist richtig. Du kannst auch direkt sagen, dass schon $\begin{eqnarray*} B_{0.5}(1.5) = A \end{eqnarray*}$ gilt. Augenzwinkern

16.02.2011, 23:07

Ibn Batuta

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Klasse Antwort! Vielen Dank dafür, zweiundvierzig. Freude

Ibn Batuta

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