Differenzierbarkeit

16.02.2011, 20:45

Ibn Batuta

Differenzierbarkeit

Hi,

sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} g:[c,d]\to[a,b] \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Zeige, dass die Funktion
$\begin{eqnarray*} F:[c,d]\to\mathbb{R}, x\mapsto\int_{a}^{g(x)} f(t)dt \end{eqnarray*}$
differenzierbar ist und berechne die Ableitung $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ .

___________________________

Wie kann ich die Differenzierbarkeit zeigen?

Die Ableitung sieht so aus: $\begin{eqnarray*} F'(g(x))-F'(a)=f(g(x))-f(a) \end{eqnarray*}$ . Das ist definiert, da (siehe Integral) $\begin{eqnarray*} x\in[c,d] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:[c,d]\to[a,b] \end{eqnarray*}$ . Stimmt die Ableitung und Begründung so?

Ibn Batuta

17.02.2011, 00:29

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Wem etwas einfällt, nur her damit... smile

Ibn Batuta

17.02.2011, 00:29

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit
Die Komposition differenzierbarer Funktionen ist differenzierbar.

Die Ableitung ist falsch, bei F(g(x)) sollte die Kettenregel angewendet werden.

17.02.2011, 01:43

Merlinius

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn Du F(a) in Deiner Rechnung nach x ableitest, fällt es weg, da es eine Konstante ist. Wenn man F(x) schreibt als Komposition $\begin{eqnarray*} h(g(x)) \end{eqnarray*}$ (wie das h aussieht, ist klar) , dann sieht man die Ableitung sofort mit der Kettenregel. Und die Differenzierbarkeit ist dann auch klar, da g nach Aufgabe und h nach Def. differenzierbar sind.

17.02.2011, 03:38

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und die Differenzierbarkeit ist dann auch klar, da g nach Aufgabe und h nach Def. differenzierbar sind.

Das Integral ist nicht (unbedingt) definiert als Stammfunktion... Wenn man davon ausgeht, dass das bestimmte Integral hier als Riemannintegral zu verstehen ist, dann ist der Beweis der Diffbarkeit von

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_a^{x} f(x') \, dx' \end{eqnarray*}$

davon abhängig, dass f stetig ist.

17.02.2011, 04:35

Merlinius

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, danke für den Hinweis. Nicht aufgepasst.

17.02.2011, 08:13

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Die Komposition differenzierbarer Funktionen ist differenzierbar.

Stimmt ja.

Zitat:

Original von lgrizu
Die Ableitung ist falsch, bei F(g(x)) sollte die Kettenregel angewendet werden.

Sieht die Ableitung so korrekt aus?

$\begin{eqnarray*} (F\circ g)'(x)-F'(a)=F'(g(x))\cdot g'(x)-0=f(g(x))\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

17.02.2011, 09:55

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell korrekt (also das Ergebnis), aber der Zeilenanfang ist formal falsch. Es gilt nun mal

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy} \int_a^y f(t) \, dt = f(y) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} F(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Deins ist also insofern falsch, dass

$\begin{eqnarray*} (F \circ g)(x) = \int_a^{g(g(x))} f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

(F ist bereits selbst die Komposition!) und das F'(a) gehört da auch einfach nicht hin. Wenn du es wirklich als Komposition schreiben möchtest, müsstest du dir noch eine Funktion definieren,

$\begin{eqnarray*} h(y) := \int_a^y f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

und dann kannst du auf $\begin{eqnarray*} F(x)= (h \circ g)(x) \end{eqnarray*}$ die Kettenregel anwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit

Verwandte Themen