Vollständige Induktion - Seite 2

17.02.2011, 21:19

zweiundvierzig

Wie würdest Du denn 23xy + 23 vereinfachen?

17.02.2011, 21:20

Cheftheoretiker

Ahja moment,

$\begin{eqnarray*} (n^2+2n+1)(n+1)-(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)((n^2+2n+1)-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es aber wirklich elegant Augenzwinkern

17.02.2011, 21:21

zweiundvierzig

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Ja, darauf wollte ich hinaus. smile

Und wie geht's weiter?

17.02.2011, 21:24

Cheftheoretiker

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Also erst einmal etwas für die Darstellung.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(n+1)((n^2+2n+1)-1) \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich ja die Ausgangsbedingung in die linke Seite einsetzen und schauen, ob beide Seiten äquivalent sind oder?

$\begin{eqnarray*} n^3-n_{n+1}=(n+1)((n^2+2n+1)-1) \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 21:26

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} n^3-n_{n+1}=(n+1)((n^2+2n+1)-1) \end{eqnarray*}$

Was Du hier meinst, ist mir unklar. Guck Dir doch mal an, wie Du $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = ((n^2 + 2n + 1) - 1)(n + 1) \end{eqnarray*}$ weiter vereinfachen kannst.

17.02.2011, 21:27

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(n^2+2n)(n+1) \end{eqnarray*}$

Was muss ich denn jetzt machen?

17.02.2011, 21:32

zweiundvierzig

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Ich kann nur wiederholen: was wäre denn naheliegend?

Versuch' ruhig mal ein paar Schritte selbst zu berechnen, bis sich von selbst etwas ergibt. Nach jedem Gleichheitszeichen nachzufragen, ist nicht wirklich effizient. Augenzwinkern

17.02.2011, 21:33

Cheftheoretiker

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Wie gesagt, ich hätte nun für a den Ausgangsterm eingesetzt und geschaut ob die beiden Seiten äquivalent sind. Schließlich habe ich das bei der Aufgabe davor genau so gemacht.

17.02.2011, 21:37

Cheftheoretiker

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Kann denn niemand mal genau erklären was man machen muss?! böse

17.02.2011, 21:41

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Zu tun ist also folgendes: Berechne den Term $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ gemäß Definition der Folge und schreibe ihn passend um, sodass man sieht, inwiefern er von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ abhängt.

17.02.2011, 21:45

Cheftheoretiker

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Ich verstehe zwar nicht ganz was ich nun machen soll, aber sei es drum.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=n^3+3n^2+2n \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 21:50

zweiundvierzig

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Richtig. Wie lässt sich darin $\begin{eqnarray*} a_n = n^3 - n \end{eqnarray*}$ wiedererkennen?

17.02.2011, 21:54

Cheftheoretiker

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garnicht?

17.02.2011, 22:04

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} n^3+3n^2+2n+n-n=(n^3-n)+(3n^2+3n) \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 22:06

zweiundvierzig

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Ja.

Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ durch 6 teilbar ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass 6 beide Summanden teilt, die Du hier schon passend geklammert hast (Warum?).

Wie kann man dies nun jeweils begründen?

Edit: Das Ausgeklammere war natürlich ein Umweg. Wir waren ja schon viel früher bei $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = n^3+ 3n^2 + 2n \end{eqnarray*}$ angekommen. Sorry, da war ich umnachtet.

17.02.2011, 22:14

Cheftheoretiker

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Also die Voraussetzung war ja,

$\begin{eqnarray*} a_n=n^3-n \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} n^3-n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar ist, dann muss $\begin{eqnarray*} 3n^2+3n \end{eqnarray*}$ auch druch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar sein?

also sprich,

$\begin{eqnarray*} 3*1^2+3*1=6 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar.

quod erat demonstrandum? smile

17.02.2011, 22:20

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von hangman
Also die Voraussetzung war ja,

$\begin{eqnarray*} a_n=n^3-n \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} n^3-n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar ist, dann muss $\begin{eqnarray*} 3n^2+3n \end{eqnarray*}$ auch druch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar sein?

Ich bin mir nicht sicher, wie Du das genau meinst, aber jedenfalls ist schonmal $\begin{eqnarray*} n^3 - n \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar. Unabhängig davon ist $\begin{eqnarray*} 3n^2+3n \end{eqnarray*}$ immer durch 6 teilbar, was man auch noch zeigen muss. Eine Zahl einzusetzen reicht nicht. Was Du aber erstmal machen kannst, ist $\begin{eqnarray*} 3n^2 + 3n \end{eqnarray*}$ als Produkt schreiben.

17.02.2011, 22:21

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(n^3-n)+3(n^2+n) \end{eqnarray*}$

Was nun?

17.02.2011, 22:23

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} 3(n^2 + n) = \ldots ? \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 22:24

Cheftheoretiker

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Sorry aber ich muss jetzt offline gehen. Ich finde das ziemlich Mist wenn man rumrechnet ohne wirklich zu wissen wo man hin will bzw. muss.

Ich werde es morgen nochmal versuchen.
Trotzdem danke für deine Bemühungen.

17.02.2011, 22:30

zweiundvierzig

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Bitteschön.

Wo wir allgemein hinwollen, hatte ich mehrfach gesagt.

Dass man bestimmte Tricks und Umformungen erst nach einer Weile sieht, liegt in der Natur der Sache und gerade solche Aufgaben sind gut, um sich daran zu gewöhnen. Es gehört einfach dazu, mitunter mal im Dunkeln zu tappen und aufs Geratewohl draufloszurechnen.

18.02.2011, 12:55

Cheftheoretiker

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Ich werde nachher weiter machen. Hat vielleicht jemand eine etwas leichtere Aufgabe die ich einmal versuchen könnte zu beweisen? smile

18.02.2011, 13:09

Helferlein

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Naja, stark angelehnt an das erste Beispiel, das Du schon gerechnet hast wäre folgendes:

2+4+6+...+2n=n(n+1)

oder auch

1+3+5+...+(2n-1)=n²

18.02.2011, 13:42

Cheftheoretiker

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Okay, ich werde mich später einmal an die Aufgaben setzen. Ich werde mich dann melden.

smile

18.02.2011, 15:46

Equester

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Damit dir beim Sitzen nicht langweilig wird.
Vergiss das Beispiel von zweiundvierzig nicht Big Laugh

Zitat:

Original von zweiundvierzig
$\begin{eqnarray*} 3(n^2 + n) \end{eqnarray*}$

Warum ist dies durch 6 teilbar?

18.02.2011, 17:05

Cheftheoretiker

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Also,

$\begin{eqnarray*} 2+4+6+...+2n=n(n+1) \end{eqnarray*}$

i.a.

$\begin{eqnarray*} 2*1=1(1+1) \end{eqnarray*}$

Für 1 stimmt es also.

i.s.

$\begin{eqnarray*} 2+4+6+...+2n+(n+1)=(n+1)((n+1)+1) \end{eqnarray*}$

Was muss ich nun machen?
Irgendwie verstehe ich nie was ich eigentlich machen soll... unglücklich

18.02.2011, 17:15

Equester

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Der IA ist schon mal richtig. Verwende nun deine gezeigte Aussage im Induktionsschritt Augenzwinkern

18.02.2011, 17:18

Cheftheoretiker

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Mein Problem dabei ist, dass ich nie wirklich weiß was zu tun ist...
Mir fehlt irgendwie das Grundverständnis. Mir ist zwar klar, da ich weiß das es für 1 gilt das ich nun schauen will ob es auch für (n+1) gilt, aber ich verstehe nicht wie ich das nun zeigen kann... unglücklich

18.02.2011, 17:23

Equester

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Du hast doch "gezeigt", dass deine Behauptung bis n gilt.
Du hast also gezeigt, dass auf jedenfall gilt:

2+4+6..+2n=n(n+1).

Dieses Wissen kannst du jetzt nutzen -> Du setzt es im IS ein! Augenzwinkern

Betrachte also vorerst nur die linke Seite.

18.02.2011, 17:26

Cheftheoretiker

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Für die linke Seite kann ich also auch

$\begin{eqnarray*} n(n+1)+(n+1) \end{eqnarray*}$ schreiben

Die linke Seite wäre dann,

$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1=(n+1)((n+1)+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1=n^2+3n+2 \end{eqnarray*}$

18.02.2011, 17:32

Equester

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Das ist richtig Freude

Vergleiche nun mit der rechten Seite.
Stimmt es überein? Wenn ja kommen wir zum Induktionsschluss Augenzwinkern

18.02.2011, 17:34

Cheftheoretiker

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Nein, stimmt nicht überein. Sind doch zwei verschiedene Terme?! verwirrt

18.02.2011, 17:37

Equester

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An welchem Teil stimmts nicht überein? Big Laugh

Für mich sehen beide gleich aus Oo

$\begin{eqnarray*} (n+1)((n+1)+1) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

18.02.2011, 17:37

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1=n^2+3n+2 \end{eqnarray*}$

Das ist doch nicht gleich verwirrt

18.02.2011, 17:45

Equester

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Wo hast du den Linken Teil her?

Ich zeig dir nochmals den Weg.

IA sei mal gegeben.
IS -> 2+4+6+...+2n=n(n+1)

Das ist Wissen.

Frage:
2+4+6+...+2n+2(n+1)=(n+1)((n+1)+1)

Antwort -> es wird nur die linke Seite betrachtet und versucht blaues zu erreichen!

Umformen der linken Seite, mit Wissen (rot):

n(n+1)+2(n+1) -> Ausrechnen

(Das ist dein Part)

---------
Hab erst jetzt grad gesehen, dass du die rechte Seite immer mitgeschleppt hast.
Hab da nur auf das "Ergebnis" geschaut, und das war ja richtig^^
Mit meinem Ansatz solltest du es aber hinbekommen. Du scheinst die Klammer
vergessen zu haben smile

18.02.2011, 17:51

Cheftheoretiker

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Also ich will nun schauen

$\begin{eqnarray*} n(n+1)+2(n+1)=(n+1)((n+1)+1) \end{eqnarray*}$

gleich ist ja?!

$\begin{eqnarray*} n^2+3n+2=n^2+3n+2 \end{eqnarray*}$

also ist es bewiesen da beide Seiten gleich sind... Gott

18.02.2011, 17:59

Equester

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Das ist korrekt.
Allerdings hast du ein +2 vergessen? Augenzwinkern

Links steht:

$\begin{eqnarray*} n(n+1)+2(n+1) \end{eqnarray*}$

(siehe oben)

18.02.2011, 18:21

Cheftheoretiker

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Ich hoffe jetzt habe ich es verstanden, ich bin mal kurz weg, setze mich aber danach direkt an die andere Aufgabe.

Schonmal danke und bis gleich Lesen1

18.02.2011, 18:22

Equester

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Geht klar

18.02.2011, 19:30

Cheftheoretiker

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Also die zweite Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \end{eqnarray*}$

i.a.

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

also korrekt.

i.s.
$\begin{eqnarray*} 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3+5+...+(2n-1)=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun schaue ich mir die Linke Seite an und versuche es in die Form von (n+1)^2 zu bringen.

$\begin{eqnarray*} n^2+2((n+1)-1)=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+2n\neq(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

stimmt also nicht. smile

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