Vollständige Induktion

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Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Hallo,

ich habe mich gerade etwas in die vollständige Induktion eingelesen und habe dazu noch eine Frage.



Man geht davon aus, dass die Summe der linken Seite gleich die Summe der rechten Seite ist.
Nun habe ich es so verstanden, dass man für die Variable jeweils (n+1) einsetzt, also für jedes weitere folgenglied.



Nun müsste man natürlich noch den Induktionsanfang durchspielen, aber den möchte ich mir hier einmal sparen da es mir um den Mittelpart geht.



bzw.


(Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet... Hammer )

Nun soweit gut, wie kann ich aber nun die Gleichheit beider Seiten begründen bzw. feststellen? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn ((n+1)+1)?
Ich glaube da hast du einen Fehler?!

Mach mal nicht weiter. Dann gibts weitere Tipps Big Laugh
 
 
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sollte es richtig sein smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Zitat:
Original von hangman
Man geht davon aus, dass die Summe der linken Seite gleich der Summe der rechten Seite ist.
Nun habe ich es so verstanden, dass man für die Variable jeweils (n+1) einsetzt, also für jedes weitere folgenglied.

Man geht davon aus, dass es ein n gibt, für das diese Gleichheit gilt (dafür ist der Induktionsanfang da) und zeigt dann, dass die Gleichheit dann auch für n+1 gilt.

Und die Gleichheit zeigst du, indem du den Induktionsanfang, bzw. die daraus resultierende Annahme, im Induktionsschritt auch benutzt. Das hast du bisher noch überhaupt nicht gemacht.

Edit: Ups, deiner, Equester.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mal weiter, ja, Mulder? Augenzwinkern

Um zum Einwand von Mulder zu kommen: Du erwähntest ja, dass der Anfang
gezeigt ist.

Links steht nun



Durch umformen wollen wir auf die rechte Seite:



Nutze nun die Information aus dem Induktionsanfang. (Vllt ist dir aufgefallen, dass ich
n+(n+1) hingeschrieben habe. Hat das vllt irgendeinen Sinn? Augenzwinkern )
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz kann ich deinen Gedanken nicht folgen, aber ich denke mal, Du hast das Prinzip der Induktion noch nicht richtig verstanden.

Es geht darum eine Aussage A(n) zu beweisen, indem man sie für ein erstes Element zeigt und dann beweist, dass A(n+1) gilt, wenn A(n) gilt. Denn daraus folgt im Kettenschluss
usw.
Insgesamt also

Du kannst also in deinem Beweis die Gültigkeit von benutzen.




EDIT: Seh grad, dass Equester schneller war.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nutze nun die Information aus dem Induktionsanfang. (Vllt ist dir aufgefallen, dass ich
n+(n+1) hingeschrieben habe. Hat das vllt irgendeinen Sinn? Augenzwinkern )


Hm, gute Frage. In meinem Beispiel wird das ...n-te Glied durch (n+1) ersetzt da es das n+1 Folgenglied beschreibt. Also immer weiter geht.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs mal weniger mathematisch, als Mulder und Helferlein zu erklären Big Laugh
Die dürfen dann aber das mathematische gerne nachreichen Augenzwinkern


Nein, das n-te Glied wurde nicht durch n+1 ersetzt.
Es wurde einfach ein weiterer Summand angefügt -> Der ist n+1.

Es steht also da.
1+2+3...+n+(n+1).

Der erste Teil des Summanden, kannst du doch umschreiben (Blicke in Richtung
Induktionsanfang Augenzwinkern ).
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso wird der denn auf der linken Seite nicht ersetzt aber auf der rechten? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Links hast du eine Aufsummierung.
1+2+3+...+n. Nun kommt ein weiterer dazu -> (n+1)

Rechts hast du keine Aufsummierung, sondern einfach der höchste Summand der linken Seite.
Der war vormals n -> jetzt ist er (n+1) und muss "ersetzt" werden Augenzwinkern

Verstanden?

Dann zurück zu meinem Auftrag. Schreibe mit Hilfe des Induktionsanfangs, dass hier um:
1+2+3...+n+(n+1)

(Die rechte Seite interessiert uns mal nicht. Wir behalten nur im Hinterkopf, was das
"Ergebnis" ist Augenzwinkern )
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja okay,



Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Haha, so kann mans auch machen Big Laugh Big Laugh

Nein ich meinte mit dem Induktionsanfang.
Vllt sollten wir den doch nicht auslassen Augenzwinkern

Im Induktionsanfang heißt es doch:


Das hast du durch eingesetzte Beispiele "gezeigt" und dies wird als richtig angenommen.
Verwende es also! Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also für n=1

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das ist der Induktionsanfang.
Zumindest ein Teil von Augenzwinkern


Nun ich lass mal die Katze aus dem Sack Augenzwinkern

Links steht doch im Induktionsschritt:


Wir wissen:


Dann ersetzen wir doch einfach Augenzwinkern



Versuche das nachzuvollziehen Augenzwinkern
Dann mache weiter.
Wenn was unklar ist, frage gerne nach smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verstehe ich es nicht. Naja, ich werde eventuell morgen nochmal schauen.
Trotzdem danke für deine tolle Hilfe.


hangman smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann schaus dir morgen nochmals an.
Frag dann nochmals gezielt Augenzwinkern
Ich antworte dann Engel

Gute Nacht Wink
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

So Leute ich bin es wieder. Nun will ich es aber auch verstehen! Big Laugh
Ich beginne am besten nochmal von vorne so dass nich im nachhinein irgendwelche Fragen auftauchen...



IA)



IA ist erfüllt.

IV)



wie geht es denn nun weiter? Gott
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hi. Willkommen zurück^^

Setze nun die Induktionsvoraussetzung ein. D.h.
Wir wissen, dass
1+2+3+..+n=

gilt smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich es jetzt verstanden habe, ist ja klar dass

das selbe ist wie

Nun wollen wir ja schauen ob die Voraussetzung auch für jedes weitere Glied erfüllt ist.



Wir wissen ja nun dass die linke und die rechte Seite gleich sind, dass haben wir ja bei dem Induktionsanfang getestet.

Wie geht es aber nun weiter? Gott
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut Freude

Bring die rechte Seite auf einen Nenner und fasse zusammen.
Vergleiche mit dem, was rauskommen soll! Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Chief Big Laugh


Jetzt sind beide Seiten ja immer noch gleich. Was nun? Gott
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

?
Hast du den Nenner gleichgemacht und zusammengefasst?
Und die rechte Seite ist dann dein Ergebnis?


Das rechte Ergebnis hast du doch auch vorher rausbekommen, indem du einfach
n mit n+1 ersetzt hast. Beides ist gleich und damit richtig Augenzwinkern


Also.

Einsetzen von n+1



Nur die linke Seite betrachtet und die IV angewandt:



Das nun auf einen Hauptnenner bringen etc.

->

Das stimmt mit der ersten Zeile überein. Wir sind fertig (Induktionsschluss) Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

irgendwie komme ich da jetzt nicht ganz mit...



Das ist doch der Schritt, wo beide Seiten noch gleich sind. verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechte Seite von dir hier, ist nicht die rechte Seite vom Anfang des Induktionsschrittes.
Da ersetzt du ja nur das n mit n+1.
(Siehe meine erste Zeile)

Bei dir hast du die linke Seite mit der IV ersetzt und erhälst rechte Seite.


Deine rechte Seite und die rechte Seite von meiner ersten Zeile sind gleich.
Damit ist die Induktion korrekt Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn bei der linken Seite auf



also wo kommt denn die +1 im Zähler her? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, ein Schreibfehler meineseits.

Es muss natürlich heißen:
smile


(Bin etwas in Eile und muss dich jetzt verlassen. Bin in 1-2 Std wieder da. Oder einer meiner angesprochenen schreibt weiter Augenzwinkern )
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt habe ich es. Sehr gut Freude

Hast du vielleicht noch eine Aufgabe für mich zur vollständigen Induktion dass ich es etwas üben kann? smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir jetzt mal selbst eine Aufgabe besorgt Big Laugh

Behauptung:

Jedes Glied der Folge ist durch 6 teilbar.



I.A.


Darf ich das so schreiben? verwirrt

0 Ist durch 6 teilbar.

I.S.





Ist das soweit richtig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman
Ich habe mir jetzt mal selbst eine Aufgabe besorgt Big Laugh

Behauptung:

Jedes Glied der Folge ist durch 6 teilbar.



I.A.


Darf ich das so schreiben? verwirrt

Man würde eher schreiben: Es gilt , was durch teilbar ist. (Wahlweise kannst Du auch mit beginnen, je nach Konvention.)

Zitat:
Original von hangman
I.S.




Naja, hier addierst Du zu dazu. Das ist aber nicht das gleiche wie . Zur Induktionsannahme nimmst Du an, Du hast die Aussage für gezeigt. Zu schließen ist, dass sie unter dieser Annahme auch für gilt.

Zu tun ist also folgendes: Berechne den Term gemäß Definition der Folge und schreibe ihn passend um, sodass man sieht, inwiefern er von abhängt.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss es lauten,



?

Wie mache ich dann aber weiter? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man denn schreiben?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen Beitrag editiert...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman



Nein, ist durchaus richtig. Es geht jetzt darum, den Term weiter zu vereinfachen. Was kann man denn hierbei auf Anhieb sehr leicht berechnen?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde den Term jetzt einfach ausmultiplizieren Big Laugh

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »



smile
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ausmultipliziert ergibt es dann,

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ungeschickt, gleich alles zusammenzufassen. Du weißt ja, dass . Was kann man nun geschickterweise machen?

Edit: Sorry, oben muss es natürlich heißen.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, weiß ich jetzt garnicht?! verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

In beiden Summanden kommt der Term vor...
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, aber ich weiß ehrlich nicht wie ich das jetzt umformen soll ? verwirrt
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