Vollständige Induktion

16.02.2011, 22:15

Cheftheoretiker

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Vollständige Induktion

Hallo,

ich habe mich gerade etwas in die vollständige Induktion eingelesen und habe dazu noch eine Frage.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Man geht davon aus, dass die Summe der linken Seite gleich die Summe der rechten Seite ist.
Nun habe ich es so verstanden, dass man für die Variable jeweils (n+1) einsetzt, also für jedes weitere folgenglied.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+....+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Nun müsste man natürlich noch den Induktionsanfang durchspielen, aber den möchte ich mir hier einmal sparen da es mir um den Mittelpart geht.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+...+(n+1)=\frac{n^2+2n+1n+2}{2} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+...+(n+1)=\frac{n^2+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$
(Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet... Hammer

Hammer

)

Nun soweit gut, wie kann ich aber nun die Gleichheit beider Seiten begründen bzw. feststellen? verwirrt

verwirrt

16.02.2011, 22:24

Equester

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Was ist denn ((n+1)+1)?
Ich glaube da hast du einen Fehler?!

Mach mal nicht weiter. Dann gibts weitere Tipps Big Laugh

Big Laugh

16.02.2011, 22:27

Cheftheoretiker

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Jetzt sollte es richtig sein smile

smile

16.02.2011, 22:29

Mulder

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von hangman
Man geht davon aus, dass die Summe der linken Seite gleich der Summe der rechten Seite ist.
Nun habe ich es so verstanden, dass man für die Variable jeweils (n+1) einsetzt, also für jedes weitere folgenglied.

Man geht davon aus, dass es ein n gibt, für das diese Gleichheit gilt (dafür ist der Induktionsanfang da) und zeigt dann, dass die Gleichheit dann auch für n+1 gilt.

Und die Gleichheit zeigst du, indem du den Induktionsanfang, bzw. die daraus resultierende Annahme, im Induktionsschritt auch benutzt. Das hast du bisher noch überhaupt nicht gemacht.

Edit: Ups, deiner, Equester.

16.02.2011, 22:32

Equester

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Ich mach mal weiter, ja, Mulder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um zum Einwand von Mulder zu kommen: Du erwähntest ja, dass der Anfang
gezeigt ist.

Links steht nun

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+...+n+(n+1)= \end{eqnarray*}$

Durch umformen wollen wir auf die rechte Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$

Nutze nun die Information aus dem Induktionsanfang. (Vllt ist dir aufgefallen, dass ich
n+(n+1) hingeschrieben habe. Hat das vllt irgendeinen Sinn? Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

16.02.2011, 22:34

Helferlein

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So ganz kann ich deinen Gedanken nicht folgen, aber ich denke mal, Du hast das Prinzip der Induktion noch nicht richtig verstanden.

Es geht darum eine Aussage A(n) zu beweisen, indem man sie für ein erstes Element $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zeigt und dann beweist, dass A(n+1) gilt, wenn A(n) gilt. Denn daraus folgt im Kettenschluss
$\begin{eqnarray*} A(n_0) \Rightarrow A(n_0+1)\Rightarrow A(n_0+2)\Rightarrow A(n_0+3) \end{eqnarray*}$ usw.
Insgesamt also $\begin{eqnarray*} A(n) \; \forall n>n_0 \end{eqnarray*}$

Du kannst also in deinem Beweis die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ benutzen.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+(n+1)=(1+2+3+...+n)+(n+1)=... \end{eqnarray*}$

EDIT: Seh grad, dass Equester schneller war.

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16.02.2011, 22:39

Cheftheoretiker

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Zitat:

Nutze nun die Information aus dem Induktionsanfang. (Vllt ist dir aufgefallen, dass ich
n+(n+1) hingeschrieben habe. Hat das vllt irgendeinen Sinn? Augenzwinkern )

Hm, gute Frage. In meinem Beispiel wird das ...n-te Glied durch (n+1) ersetzt da es das n+1 Folgenglied beschreibt. Also immer weiter geht.

16.02.2011, 22:43

Equester

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Ich versuchs mal weniger mathematisch, als Mulder und Helferlein zu erklären Big Laugh

Big Laugh

Die dürfen dann aber das mathematische gerne nachreichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, das n-te Glied wurde nicht durch n+1 ersetzt.
Es wurde einfach ein weiterer Summand angefügt -> Der ist n+1.

Es steht also da.
1+2+3...+n+(n+1).

Der erste Teil des Summanden, kannst du doch umschreiben (Blicke in Richtung
Induktionsanfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

16.02.2011, 22:45

Cheftheoretiker

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Wieso wird der denn auf der linken Seite nicht ersetzt aber auf der rechten? verwirrt

verwirrt

16.02.2011, 22:52

Equester

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Links hast du eine Aufsummierung.
1+2+3+...+n. Nun kommt ein weiterer dazu -> (n+1)

Rechts hast du keine Aufsummierung, sondern einfach der höchste Summand der linken Seite.
Der war vormals n -> jetzt ist er (n+1) und muss "ersetzt" werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Verstanden?

Dann zurück zu meinem Auftrag. Schreibe mit Hilfe des Induktionsanfangs, dass hier um:
1+2+3...+n+(n+1)

(Die rechte Seite interessiert uns mal nicht. Wir behalten nur im Hinterkopf, was das
"Ergebnis" ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

16.02.2011, 22:55

Cheftheoretiker

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Ah ja okay,

$\begin{eqnarray*} 1+2+3...+n+(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6...+2n+1 \end{eqnarray*}$

16.02.2011, 23:00

Equester

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Haha, so kann mans auch machen Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Nein ich meinte mit dem Induktionsanfang.
Vllt sollten wir den doch nicht auslassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im Induktionsanfang heißt es doch:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Das hast du durch eingesetzte Beispiele "gezeigt" und dies wird als richtig angenommen.
Verwende es also! Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.02.2011, 23:05

Cheftheoretiker

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Ja also für n=1

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1(1+1)}{2} =1 \end{eqnarray*}$

16.02.2011, 23:08

Equester

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Genau, das ist der Induktionsanfang.
Zumindest ein Teil von Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun ich lass mal die Katze aus dem Sack Augenzwinkern

Augenzwinkern

Links steht doch im Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1) \end{eqnarray*}$

Wir wissen:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Dann ersetzen wir doch $\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n \end{eqnarray*}$ einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \to \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Versuche das nachzuvollziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann mache weiter.
Wenn was unklar ist, frage gerne nach smile

smile

16.02.2011, 23:12

Cheftheoretiker

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Irgendwie verstehe ich es nicht. Naja, ich werde eventuell morgen nochmal schauen.
Trotzdem danke für deine tolle Hilfe.

hangman smile

smile

16.02.2011, 23:14

Equester

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Ok, dann schaus dir morgen nochmals an.
Frag dann nochmals gezielt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich antworte dann Engel

Engel

Gute Nacht Wink

Wink

17.02.2011, 17:25

Cheftheoretiker

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So Leute ich bin es wieder. Nun will ich es aber auch verstehen! Big Laugh

Big Laugh

Ich beginne am besten nochmal von vorne so dass nich im nachhinein irgendwelche Fragen auftauchen...

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

IA)

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1(1+1)}{2}=1 \end{eqnarray*}$

IA ist erfüllt.

IV)

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

wie geht es denn nun weiter? Gott

Gott

17.02.2011, 18:40

Equester

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Hi. Willkommen zurück^^

Setze nun die Induktionsvoraussetzung ein. D.h.
Wir wissen, dass
1+2+3+..+n= $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

gilt smile

smile

17.02.2011, 19:08

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich es jetzt verstanden habe, ist ja klar dass

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n \end{eqnarray*}$ das selbe ist wie $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Nun wollen wir ja schauen ob die Voraussetzung auch für jedes weitere Glied erfüllt ist.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Wir wissen ja nun dass die linke und die rechte Seite gleich sind, dass haben wir ja bei dem Induktionsanfang getestet.

Wie geht es aber nun weiter? Gott

Gott

17.02.2011, 19:11

Equester

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Sehr gut

Freude

Bring die rechte Seite auf einen Nenner und fasse zusammen.
Vergleiche mit dem, was rauskommen soll! Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.02.2011, 19:16

Cheftheoretiker

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Okay Chief Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt sind beide Seiten ja immer noch gleich. Was nun? Gott

Gott

17.02.2011, 19:19

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

?
Hast du den Nenner gleichgemacht und zusammengefasst?
Und die rechte Seite ist dann dein Ergebnis?

Das rechte Ergebnis hast du doch auch vorher rausbekommen, indem du einfach
n mit n+1 ersetzt hast. Beides ist gleich und damit richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also.

Einsetzen von n+1

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Nur die linke Seite betrachtet und die IV angewandt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)+1}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Das nun auf einen Hauptnenner bringen etc.

-> $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Das stimmt mit der ersten Zeile überein. Wir sind fertig (Induktionsschluss) Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.02.2011, 19:31

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

irgendwie komme ich da jetzt nicht ganz mit...

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Das ist doch der Schritt, wo beide Seiten noch gleich sind. verwirrt

verwirrt

17.02.2011, 19:33

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechte Seite von dir hier, ist nicht die rechte Seite vom Anfang des Induktionsschrittes.
Da ersetzt du ja nur das n mit n+1.
(Siehe meine erste Zeile)

Bei dir hast du die linke Seite mit der IV ersetzt und erhälst rechte Seite.

Deine rechte Seite und die rechte Seite von meiner ersten Zeile sind gleich.
Damit ist die Induktion korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.02.2011, 19:44

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn bei der linken Seite auf

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)+1}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

also wo kommt denn die +1 im Zähler her? verwirrt

verwirrt

17.02.2011, 19:46

Equester

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Sry, ein Schreibfehler meineseits.

Es muss natürlich heißen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$ smile

smile

(Bin etwas in Eile und muss dich jetzt verlassen. Bin in 1-2 Std wieder da. Oder einer meiner angesprochenen schreibt weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.02.2011, 19:50

Cheftheoretiker

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Ah, jetzt habe ich es. Sehr gut Freude

Freude

Hast du vielleicht noch eine Aufgabe für mich zur vollständigen Induktion dass ich es etwas üben kann? smile

smile

17.02.2011, 20:14

Cheftheoretiker

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Ich habe mir jetzt mal selbst eine Aufgabe besorgt Big Laugh

Big Laugh

Behauptung:

Jedes Glied der Folge ist durch 6 teilbar.

$\begin{eqnarray*} a_n=n^3-n \end{eqnarray*}$

I.A.

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{6}=1^3-1 =0 \end{eqnarray*}$
Darf ich das so schreiben? verwirrt

verwirrt

0 Ist durch 6 teilbar.

I.S.

$\begin{eqnarray*} a_n+(n+1)=(n+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3-(n+1)+(n+1)=(n+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

17.02.2011, 20:29

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von hangman
Ich habe mir jetzt mal selbst eine Aufgabe besorgt Big Laugh

Big Laugh

Behauptung:

Jedes Glied der Folge ist durch 6 teilbar.

$\begin{eqnarray*} a_n=n^3-n \end{eqnarray*}$

I.A.

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{6}=1^3-1 =0 \end{eqnarray*}$
Darf ich das so schreiben? verwirrt

verwirrt

Man würde eher schreiben: Es gilt $\begin{eqnarray*} a_0 = 0 - 0 \end{eqnarray*}$ , was durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar ist. (Wahlweise kannst Du auch mit $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ beginnen, je nach Konvention.)

Zitat:

Original von hangman
I.S.

$\begin{eqnarray*} a_n+(n+1)=(n+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$

Naja, hier addierst Du $\begin{eqnarray*} n + 1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dazu. Das ist aber nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ . Zur Induktionsannahme nimmst Du an, Du hast die Aussage für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gezeigt. Zu schließen ist, dass sie unter dieser Annahme auch für $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zu tun ist also folgendes: Berechne den Term $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ gemäß Definition der Folge und schreibe ihn passend um, sodass man sieht, inwiefern er von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ abhängt.

17.02.2011, 20:48

Cheftheoretiker

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Also muss es lauten,

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=((n+1)+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$

?

Wie mache ich dann aber weiter? verwirrt

verwirrt

17.02.2011, 20:50

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man denn $\begin{eqnarray*} (n + 1)^3 \end{eqnarray*}$ schreiben?

17.02.2011, 20:52

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen Beitrag editiert...

17.02.2011, 20:55

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=((n+1)+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(n+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$ ist durchaus richtig. Es geht jetzt darum, den Term $\begin{eqnarray*} (n + 1)^3 \end{eqnarray*}$ weiter zu vereinfachen. Was kann man denn hierbei auf Anhieb sehr leicht berechnen?

17.02.2011, 20:58

Cheftheoretiker

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Also ich würde den Term jetzt einfach ausmultiplizieren Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2*(n+1) \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 21:03

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} (n + 1)^2 = \ldots? \end{eqnarray*}$

smile

smile

17.02.2011, 21:04

Cheftheoretiker

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Ausmultipliziert ergibt es dann,

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=n^3+3n^2+2n \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 21:06

zweiundvierzig

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Es ist ungeschickt, gleich alles zusammenzufassen. Du weißt ja, dass $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = (n + 1)^2(n + 1) - (n + 1) = (n^2 + 2n + 1)(n + 1) + (n + 1) \end{eqnarray*}$ . Was kann man nun geschickterweise machen?

Edit: Sorry, oben muss es natürlich $\begin{eqnarray*} (n^2 + 2n + 1)(n + 1) - (n + 1) \end{eqnarray*}$ heißen.

17.02.2011, 21:09

Cheftheoretiker

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Ähm, weiß ich jetzt garnicht?! verwirrt

verwirrt

17.02.2011, 21:10

zweiundvierzig

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In beiden Summanden kommt der Term $\begin{eqnarray*} n + 1 \end{eqnarray*}$ vor...

17.02.2011, 21:13

Cheftheoretiker

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Sry, aber ich weiß ehrlich nicht wie ich das jetzt umformen soll ? verwirrt

verwirrt

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