Gruppentafel lesen

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Justin03 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentafel lesen
Meine Frage:
Hallo,

anbei ist eine Gruppentafel, die es gilt auf verschiedene Eigenschaften zu prüfen. Da ist zunächst die Assoziativität. Die ist z.B. gegeben für c * (b * d) = (c * b) * d , wie leicht an der Gruppentafel abzulesen ist. Meine Frage: Um die ganze Tafel auf Assoziativität hin abzuprüfen bleibt mir doch nichts anderes übrig als die gesamte Tafel abzuprüfen? Oder gibt es eine Alternative?

Noch etwas. Das neutrale Element hier ist a. So ergibt sich z.B. für c * a = c. Das inverse Element zu c ist laut dieser Tafel dann wiederum c. Kann ein Element sein eigenes inverses Element sein?

Vielen Dank :o)

Meine Ideen:
Ich denke, theoretisch kann man eine Gruppemntafel so formulieren, dass ein Element tatsächlich sein eigenes Inverses ist, aber ob das Sinn ergibt?

Edit lgrizu: Hab dich mal in die Hochschulmathematik verschoben, dort solltest du bessr aufgehoben sein Augenzwinkern
Draos Auf diesen Beitrag antworten »

Also Assoziativtät sieht man an so einer Gruppentafel nicht so gut. Musst du leider durchtesten.

Zum Inversen: Ja ein Element kann sein eigenes Inverses sein. In der Gruppe (Z,*) ist -1 auch sein eigenes Inverses.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DraosIn der Gruppe (Z,*) ist -1 auch sein eigenes Inverses.

Das ist keine Gruppe.
Justin03 Auf diesen Beitrag antworten »

@ lgrizu : Pardon & Danke, räusper

@ Draos: Danke :o) Einleuchtendes Beispiel!

@ kiste: Ich nehme an, (Z,*) ist nur eine Halbgruppe, da 0 kein Inverses hat?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Draos
Also Assoziativtät sieht man an so einer Gruppentafel nicht so gut. Musst du leider durchtesten.

Naja, ganz so schlimm ist es dann auch wieder nicht...

Allgemein kann man das Assoziativgesetz



in einer Gruppe G auch so schreiben



oder kürzer



wobei die LInksmultiplikation mit x und die Rechtsmultiplikation mit y bedeutet....

Die Assoziativität ist also für eine Operation gleichbedeutend mit der Vertauschbarkeit von Linksmultiplikationen und Rechtsmultiplikationen.... Wenn die Operation, so wie in diesem Fall auch noch kommutativ ist, d.h., wenn gilt



so ist das gleichbedeutend mit der Vertauschbarkeit von Linksmultiplikationen untereinander,



d.h., diese Bedingung muss hier letzlich überprüft werden...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, mit Z* ist die Einheitengruppe der ganzen Zahlen gemeint, also die Menge {-1,1} mit der Multiplikation verknüpft und 1 als neutralem Element, und das ist sicherlich eine Gruppe.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Ich glaube, mit Z* ist die Einheitengruppe der ganzen Zahlen gemeint, also die Menge {-1,1} mit der Multiplikation verknüpft und 1 als neutralem Element, und das ist sicherlich eine Gruppe.

Er hatte nur leider geschrieben (Z, *), also dann doch Z gemeint...
Draos Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm..

Ne hab wirklich die ganzen Zahlen, da oben gemeint, war wohl bisschen voreilig.

Nimm als Beispiel die Einheitsgruppe von Igrizu.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Da war ich in meiner Interpretation wohl ein wenig wohlwollend Big Laugh


Um noch einmal auf diese Frage einzugehen:

Zitat:

Ich denke, theoretisch kann man eine Gruppemntafel so formulieren, dass ein Element tatsächlich sein eigenes Inverses ist, aber ob das Sinn ergibt?



Dass Elemente selbstinvers sind macht sogar richtig Sinn, betrachte die Gruppe der Restklassen modulo 2, für die Informatik unentbehrlich und 1+1=0, also 1 ist sowohl multiplikativ als auch additiv selbstinvers.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir das Nachprüfen der Assoziativität erleichtern, wenn du eine Gruppe mit derselben Gruppentafel findest, von der dir die Assoziativität bereits bekannt ist, z.B. die multiplikative Gruppe der vierten Einheitswurzeln bei den komplexen Zahlen:



Für die Multiplikation komplexer Zahlen gilt das Assoziativgesetz (bekanntlich).

Oder die folgenden reellen Matrizen unter der Matrizenmultiplikation



Für die Multiplikation von Matrizen gilt aber das Assoziativgesetz (bekanntlich).

Diese Dinge werden dir sicherlich bald unter dem Stichwort Isomorphie in der Vorlesung begegnen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man kann die Suche nach einer isomorphen Gruppe sogar systematisch betreiben... Ist G nämlich eine endliche Menge Menge mit n Elementen, auf der eine (multiplikativ geschriebene) binäre Operation definiert ist, so gilt (mit den von mir oben eingeführten Bezeichnungen) dass G genau dann eine Gruppe ist, wenn die Linksmultiplikationen Permutationen von G sind und G isomorph ist zur Untergruppe von , welche von allen Linksmultiplikationen erzeugt wird...
Justin03 Auf diesen Beitrag antworten »

Uff, das war viel.
Vielen Dank für die Antworten - jetzt hab ich was zu bearbeiten :o)
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