Grenzwert nach Minoranten bzw Majoranten

17.02.2011, 12:12

haloboy89

Grenzwert nach Minoranten bzw Majoranten

Meine Frage:
Ich solll den Grenzwert nach Minoranten, bzw Majorantenkriterium herrausfinden

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{\cos(4n)}{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
meine idee wars nun zu sagen das

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(4n)}{n}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist

da ja cos(4n) immer zwischen -1 und 1 alterniert. wobei das heißen müsste das nach Leipniz das ganze Konvergieren müsste gegen null.
aber da ja 1/n die Harmonische reihe ist müsste das ganze doch dann divergieren.

17.02.2011, 12:34

tohuwabou

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RE: Grenzwert nach Minoranten bzw Majoranten

Zitat:

Original von haloboy89

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{\cos(4n)}{n} \end{eqnarray*}$

Ist die Reihe wirklich so richtig aufgeschrieben? Oder soll das heißen :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(4n)}{n} \end{eqnarray*}$

oder sogar

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(4\pi n)}{n} \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 12:48

haloboy89

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sry das sollte heißen n=1->Infinity

17.02.2011, 12:49

corvus

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RE: Grenzwert nach Minoranten bzw Majoranten

Zitat:

Original von haloboy89
Meine Frage:
Ich solll den Grenzwert nach Minoranten, bzw Majorantenkriterium herrausfinden

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{\cos(4n)}{n} \end{eqnarray*}$
meinst du vielleicht doch eher dies?: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{\cos(4k)}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(4n)}{n}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist

da ja cos(4n) immer zwischen -1 und 1 alterniert.
echt? nebenbei: n ist hier eine natürliche Zahl ?..

wobei das heißen müsste das nach Leipniz Freude

wer soll denn dies sein?

aber da ja 1/n die Harmonische reihe ist müsste das ganze doch dann divergieren.
und wie siehst du das dann zB da: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

ok, tohuwabou hat schneller angerichtet..
bin wieder weg..

17.02.2011, 13:09

tohuwabou

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RE: Grenzwert nach Minoranten bzw Majoranten
@corvus

Wenn du eine Lösung für das Problem hast, nur zu Augenzwinkern

Ich bin nämlich noch auf der Suche.

17.02.2011, 14:39

haloboy89

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{cos(4k)}{k} \end{eqnarray*}$

so soll das sein.

ja ich hätte ja gesagt das cos(4k)/k<=1/k und 1/k ist ja die harmonische reihe und die divergiert sodass dann auch cos(4k)/k divergiert.

17.02.2011, 14:57

tohuwabou

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So rum, wie du es sagst , macht es keinen Sinn. Dazu hat corvus oben auch ein Beispiel gebracht , wo es nicht zutrifft.

Wenn dann müsstest du eine Minorante finden die divergiert um zu folgern , dass dann auch die Reihe divergiert.
Du hast aber so eine Majorante gefunden , die divergiert. Das sagt nichts über die eigentliche Reihe aus.

Würde man aber eine Majorante finden, die konvergiert, so würde auch die Reihe konvergieren.

Aber das hab ich nicht gefunden. Ich glaube auch, dass man das hier wenn dann nur mit dem Majorantenkriterium lösen kann, da beim Minorantenkriterium die Reihenglieder alle nichtnegativ sein müssen, was hier ja nicht der Fall ist.

Vielleicht geht da ja was mit der Reihenentwicklung des Cosinus, aber damit bin ich auch nicht weitergekommen unglücklich

Kann leider nicht helfen , aber es findet sich bestimmt noch wer, der kann Wink

17.02.2011, 21:37

tohuwabou

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Kann hierbei keiner helfen ?

Gibts die Möglichkeit hierbei was mit Majoranten oder Minorantenverfahren auszusagen?

17.02.2011, 22:40

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von tohuwabou
Gibts die Möglichkeit hierbei was mit Majoranten oder Minorantenverfahren auszusagen?

Ja.

Ibn Batuta

17.02.2011, 22:54

tohuwabou

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Willst du auch sagen, was? Wie ? smile

18.02.2011, 15:25

tohuwabou

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Zitat:

Original von tohuwabou
Gibts die Möglichkeit hierbei was mit Majoranten oder Minorantenverfahren auszusagen?

Ja.

Ibn Batuta

Willst du uns im Dunkeln lassen? Ich bin jedenfalls noch an einer Lösung oder einem Hinweis interessiert und ich denke mal der Fragensteller auch.

18.02.2011, 18:02

Kawarider90

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ich glaub die alternierende harmonische Reihe stellt ne Majorante dar

da der betrag des cos beschränkt ist nämlich $\begin{eqnarray*} | cos(4n) | \leq 1 \end{eqnarray*}$

18.02.2011, 19:47

tohuwabou

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Hi kawarider

kann ich nicht so richtig glauben, es sei denn du kannst es zeigen Big Laugh

. Ich würd sagen, es ist hier keine Majorante. Kann mich aber natürlich täuschen.

Gruß tohuwabou

18.02.2011, 19:56

HAL 9000

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Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(4n)}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht absolut, aber sie konvergiert, begründbar mit dem Dirichlet-Kriterium .

18.02.2011, 20:58

tohuwabou

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Moin HAL,

ich freu mich über jeden Beitrag hier Big Laugh

. Hab dazu aber noch eine Frage.

Ich bezieh mich auf den Wiki Beitrag , also deinen Link :

Ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k=cos(4k) \end{eqnarray*}$

Woher weiß man denn , dass die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist?

$\begin{eqnarray*} \{ \sum\limits_{k=1}^n cos(4k) \}_n \end{eqnarray*}$

Das muss man doch auf jeden Fall iwie begründen. Ist mir jetzt nicht so direkt einsichtig

Abgesehen davon hat derjenige, der die Frage gestellt hat, aber auch eine Antwort durch das Majoranten- oder Minorantenkriterium gefordert.

Aber Danke dafür schonmal

18.02.2011, 21:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von tohuwabou
Woher weiß man denn , dass die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist?

Ausrechnen. Augenzwinkern

Z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \cos(4k) = Re\left( \sum_{k=1}^n \exp(4ki) \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

und dann weiter mit Partialsumme geometrische Reihe, welche man betragsmäßig und gleichmäßig (bzgl. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) nach oben abschätzen kann.

Zitat:

Original von tohuwabou
Abgesehen davon hat derjenige, der die Frage gestellt hat, aber auch eine Antwort durch das Majoranten- oder Minorantenkriterium gefordert.

Fordern kann man viel, aber wenn die Forderung nicht erfüllbar ist ... Big Laugh

Majoranten- und Minorantenkriterium ist was für Reihen mit positiven Gliedern, und eine solche liegt hier offenbar nicht vor. Wenn sie denn wenigstens absolut konvergieren würde, aber ich erwähnte ja schon, dass sie dies nicht tut. unglücklich

18.02.2011, 21:15

tohuwabou

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von tohuwabou
Woher weiß man denn , dass die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist?

Ausrechnen. Augenzwinkern

Rofl

Dann reicht es doch zu zeigen , dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty cos(4k) \end{eqnarray*}$ konvergiert, oder? Geht das denn?

Zitat:

Original von tohuwabou
Abgesehen davon hat derjenige, der die Frage gestellt hat, aber auch eine Antwort durch das Majoranten- oder Minorantenkriterium gefordert.

Zitat:

Original von HAL 9000
Fordern kann man viel, aber wenn die Forderung nicht erfüllbar ist ... Big Laugh

Achso, das geht gar nicht verwirrt

Ich muss jetzt los, kümmer mich morgen nochmal darum.

Vielen Dank Wink

19.02.2011, 12:04

tohuwabou

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Hi HAL,

ich hab mir dazu jetzt nochmal Gedanken gemacht. Würdest du das überprüfen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \cos(4k) = Re\left( \sum_{k=1}^n \exp(4ki) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \exp(4ki)=\frac{e^{4i(n+1)}-1}{e^{4i}-1}-1=\frac{e^{4i(n+1)}-e^{4i}}{e^{4i}-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich $\begin{eqnarray*} exp(ix)=cos(x)+i sin(x) \end{eqnarray*}$ verwendet.

Nach Rumrechnerei, bin ich dann für den Realteil, auf den folgenden Ausdruck gekommen :

$\begin{eqnarray*} Re(\frac{e^{4i(n+1)}-e^{4i}}{e^{4i}-1})= \frac{sin(4n+4)sin(4)+cos(4n+4)cos(4)-cos(4n+4)-cos(4)}{2-2cos(4)} \end{eqnarray*}$

Jetzt will man ja das n rausbekommen, richig? Also hab ich einfach so abgeschätzt :

$\begin{eqnarray*} \le \frac{1+1+1+1}{2-2cos(4)}=\frac{4}{2-2cos(4)}=\frac{2}{1-cos(4)} \end{eqnarray*}$

Warum hast du gleichmäßig fett geschrieben? Ich kann mir nur recht schleierhaft vorstellen, was damit hier genau gemeint ist.

Meinst du meine Rechnung oben stimmt?
THX

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