Banachraum + seperabler Hilbertraum |
| 17.02.2011, 15:11 | BRuHR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Banachraum + seperabler Hilbertraum Hallo, wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz: Sei H ein seperabler Hilbertraum mit dimH=unendlich => H ist unitär zum Folgenraum l^2. Seperabel => H hat eine abzählbare Basis. H ist aber auch BR => H hat keine abzählbare Basis. Meine Ideen: H existiert nicht, und somit auch l^2 (was ja nicht sein kann!!) Vielen Dank für eure Hilfe |
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| 17.02.2011, 15:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer sagt denn, dass Banachräume keine abzählbaren Basen haben können? Du hast doch sogar schon ein Beispiel genannt, der l^2 etwa. |
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| 17.02.2011, 17:27 | BRuHR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korollar 1.7.7. Ein unendlichdimensionaler Banachraum besitzt keine abzählbare Vektorraumbasis. Ist eine Konsequenz aus dem Satz von Baire. Zum Nachlesen in seinem alten Skript: http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_...s/fa_skript.pdf Seite 35 bzw. 39 |
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| 17.02.2011, 17:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke das Problem hierbei ist , dass nicht genug Augenmerk auf die Basis gelegt wird. Im unendlichdimensionalen Unterscheidet man viele Basen, wie etwa Hamelbasis und Schauderbasis. Im endlichdimensionalen fallen diese Begriffe (unter umständen) zusammen. Fakt ist : Es gibt keine abzählbare Hamelbasis (die klassiche Vektorraumbasis) im Unendlichdimensionalen, und das wird auch in 1.7.7. gezeigt. Insbesondere sind äquivalent : (1) Separabel (2) Es existiert eine Schauderbasis Die übliche (abzählbare) Schauderbasis des l^2 ist die Menge der "Einheitsfolgen". Es gibt die Konvention (von Wiki) :
Von daher ist das Problem das Du hast, aus dem Kontext erwachsen. |
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| 17.02.2011, 17:54 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Banachraum + seperabler Hilbertraum
Du solltest wohl etwas feiner zwischen "Basis" und "Basis" unterscheiden. Wenn H separabel ist, folgt daraus ja erstmal nur, dass eine abzählbare (dichte!) Teilmenge existiert - diese ist aber keine algebraische Basis. Genauso wie Orthonormalbasen keine algebraischen Basen sind. |
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| 17.02.2011, 18:20 | BRuHR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Banachraum + seperabler Hilbertraum Vielen Dank euch beiden. Ich wusste nicht, dass es 2 verschiedene Basenbegriffe gibt... Viele Grüße BRuHR |
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