Basis von Bild, Kern usw.

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anna-bader89 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Bild, Kern usw.
Meine Frage:
Hey Leute,

ich schreibe nächste Woche Klausur in lineare Algebra und ich bin total verwirrt und kommte durchs Internet total durcheinander. Wir machen gerade Vektoren und dazugehörige Matrizen.
Es geht um ein paar Grundlegende Operationen mit Basen:

Angenommen ich bilde von ab und habe nun schon meine Matrix erstellt:




Wie ich den Kern ausrechne (also Ax=0 berechnen, dann kann, weil ich ja eine Nullzeile hab, ein x beliebig wählen und einsetzten) weiß ich, da komme ich auf:

und ich sehe, dass der Kern die Dimension 1 hat. Wie bestimme ich nun die Basis des Kerns oder ist das schon eine Basis? Weil laut meinem Verständnis sind in der linearen Hülle ja die gesamten Linearkombinationen der Lösung des LGS, also müsste das doch schon meine Basis sein oder? Bzw ich könnte ja den gesamten Vektor mal 2 nehmen, dann wäre das auch meine Basis oder?
Und wie berechne ich die Basis des Bildes?
Angenommen ich habe zwei Vektorräume U und V und jeweils 2 Vektoren gegeben und solle davon die Basis bestimmen, wie gehe ich dann vor? Setzte ich alle vier in ein LGS und schaue, welche linear unabhängig sind und das ist dann meine Basis von U+V? Wie geht das dann bei U\cap V



Meine Ideen:
Ich weiß, ich bin total planlos, aber im Internet macht das jeder irgendwie anderst und bevor ich irgendwas falsches lerne, frag ich lieber direkt nochmal nach

Danke schon mal smile

Edit lgrizu: Latex-Tabs ergänzt, Latex korrigiert
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon aufpassen. Die lineare Hülle deines Vektors ist nicht die Basis. Aber der einzelne Vektor in eine Menge gepackt liefert die Basis (eine Basis ist immer eine Menge ! ).

Zitat:
Bzw ich könnte ja den gesamten Vektor mal 2 nehmen, dann wäre das auch meine Basis oder?


Du kannst den Vektor mit jeder nichtnull Zahl multiplizieren und erhältst eine weitere Basis.

Zitat:
Und wie berechne ich die Basis des Bildes?


Das Bild besteht aus den Linearkombinationen der Spalten der Matrix. Ist dir klar warum?

Zitat:
Angenommen ich habe zwei Vektorräume U und V und jeweils 2 Vektoren gegeben und solle davon die Basis bestimmen, wie gehe ich dann vor? Setzte ich alle vier in ein LGS und schaue, welche linear unabhängig sind und das ist dann meine Basis von U+V? Wie geht das dann bei U\cap V


Die Frage verstehe ich nicht.
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Bild, Kern usw.
Verwende doch bitte latex-Tags in deinem Beitrag (bitte ersten Beitrag entsprechend editieren):
Wie kann man Formeln schreiben?

Zitat:


Wie ich den Kern ausrechne (also Ax=0 berechnen, dann kann, weil ich ja eine Nullzeile hab, ein x beliebig wählen und einsetzten) weiß ich, da komme ich auf:
Ich weiss zwar nicht wie du das gerechnet hast, aber das Ergebnis stimmt.
Dieser Vektor bildet nun eine Basis des Kerns.

Zitat:
und ich sehe, dass der Kern die Dimension 1 hat. Wie bestimme ich nun die Basis des Kerns oder ist das schon eine Basis? Weil laut meinem Verständnis sind in der linearen Hülle ja die gesamten Linearkombinationen der Lösung des LGS, also müsste das doch schon meine Basis sein oder? Bzw ich könnte ja den gesamten Vektor mal 2 nehmen, dann wäre das auch meine Basis oder?
Soweit auch richtig.

Bei der Bestimmung des Bildes ist die Dimensionsformel hilfreich (sofern ihr die schon hattet)

Zitat:
Angenommen ich habe zwei Vektorräume U und V und jeweils 2 Vektoren gegeben und solle davon die Basis bestimmen, wie gehe ich dann vor? Setzte ich alle vier in ein LGS und schaue, welche linear unabhängig sind und das ist dann meine Basis von U+V? Wie geht das dann bei U\cap V
Diese Frage verstehe ich auch nicht unglücklich
anna-bader89 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, aber da mein Kern ja die Dimension 1 hat, reicht ein Vektor als Basis?

"Das Bild besteht aus den Linearkombinationen der Spalten der Matrix. Ist dir klar warum?"
Also Linearkombinationen heißt ja dann quasi, dass meine Vektoren in der Matrix (wenn ich sie auf Zeilenstufenform gebracht hab und geschaut hab, ob die linear unabhängig sind) meine Basisvektoren sind?
Habe nämlich grade einen Beitrag gefunden, der die Basisvektoren des Bildes mit der Transponierten rechnet (also Matrix transponieren, auf Zeilenstufenform und die Vektoren dann nicht von oben nach unten, sondern von links nach rechts). Aber das müsste ja im Prinzip genau das gleiche sein oder? Wieso macht er das dann?

[Artikel] Basis, Bild und Kern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna-bader89
ok, aber da mein Kern ja die Dimension 1 hat, reicht ein Vektor als Basis?
Ja, Dimension 1 heisst ja, dass es genau einen Basisvektor gibt
Zitat:
Original von anna-bader89
"Das Bild besteht aus den Linearkombinationen der Spalten der Matrix. Ist dir klar warum?"
Also Linearkombinationen heißt ja dann quasi, dass meine Vektoren in der Matrix (wenn ich sie auf Zeilenstufenform gebracht hab und geschaut hab, ob die linear unabhängig sind) meine Basisvektoren sind?
Nein, eine Basis heisst ja, dass diese Vektoren auch linear unabhängig sind
anna-bader89 Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber wenn ich jetzt meine matrix auf zeilenstufenform bring, dann seh ich ja zb durch eine nullzeile, dass dieser vektor sich durch die anderen ausdrücken lässt (also linear abhängig). die restlichen, die sich nicht aufheben, sind dann linear unabhängig, sprich meine basis?
wenn nein, wie rechne ich die dann aus?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna-bader89
ja aber wenn ich jetzt meine matrix auf zeilenstufenform bring, dann seh ich ja zb durch eine nullzeile, dass dieser vektor sich durch die anderen ausdrücken lässt (also linear abhängig). die restlichen, die sich nicht aufheben, sind dann linear unabhängig, sprich meine basis?
Ja, das ist richtig
anna-bader89 Auf diesen Beitrag antworten »

also hatte ich doch recht? einfach zeilenstufenform machen und die zeilen die übrig bleiben sind dann meine basis vom bild????
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna-bader89
also hatte ich doch recht? einfach zeilenstufenform machen und die zeilen die übrig bleiben sind dann meine basis vom bild????
Ja, stimmt so
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von anna-bader89
also hatte ich doch recht? einfach zeilenstufenform machen und die zeilen die übrig bleiben sind dann meine basis vom bild????
Ja, stimmt so


Ich hoffe hier sind die Zeilen der Transponierten gemeint, denn ansonsten ist das falsch.

Das Bild ist doch ein Unterraum des R³, wohingegen die Zeilenvektoren der Matrix Elemente des R^4 sind, da kann dann irgendwas nicht stimmen.....
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von anna-bader89
also hatte ich doch recht? einfach zeilenstufenform machen und die zeilen die übrig bleiben sind dann meine basis vom bild????
Ja, stimmt so


Ich hoffe hier sind die Zeilen der Transponierten gemeint, denn ansonsten ist das falsch.
Ähhhmm ja Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dann möchte ich noch mal eine ergänzende Anmerkung machen:

Wenn einem nicht klar ist, warum man die Matrix transponiert und dann auf Zeilenstufenform bringt um eine Basis des Bildes zu erhalten sollte man folgende, etwas rechenaufwendigere aber doch sehr plausible Methode verwenden:
Man bildet eine Basis des Urbildraums ab und erhält so ein Erzeugendensystem des Bildraumes, das sollte wohl klar sein.
Nun "sortiert" man aus dem Erzeugendensystem die Vektoren aus, die linear unabhängig sind und erhält eine Basis des Bildraums.

Welche Dimension die Basis hat kann man bereits erkennen, wenn man die Dimension des Kerns bestimmt, entweder Kern-Bild-Satz oder man benutzt, dass gilt dim(im f))=Rang(A), wobei f die lineare Abbildung ist, die durch A dargestellt wird.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird in dem Artikel doch auch gesagt, warum man transponieren muss.

Zitat:
Ginge es nur um ein Erzeugendensystem, so könnte man direkt die Spalten von M nehmen, sind dies doch die Bilder der Basisvektoren von V. Wie erhalten wir daraus aber eine Basis? Beim Gaussalgorithmus kombinieren wir Zeilenvektoren linear miteinander. Somit muss die Transponierte Matrix auf Treppengestalt gebracht werden.
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