rekursion

17.02.2011, 16:59	stud-ente	Auf diesen Beitrag antworten »
rekursion hallo kann mir jemand helfen wie ich diese rekursion zeige? $\begin{eqnarray} (n+1)F(n+1)-(n+2)F(n)=2n \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} F(0)=0 <br /> F(1)=0 \end{eqnarray}$ zu zeigen: $\begin{eqnarray} F(n)=2(n+1)\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{k}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$ bitte um hilfe !! merci..
17.02.2011, 17:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur darum geht nachzuweisen, dass das F(n) eine explizite Darstellung ist, dann reicht es, wenn Du es in die Gleichung einsetzt und die Anfangswerte überprüfst. Eine mögliche Alternative (und ich vermute, das ist hier eher gefragt) wäre der Beweis durch Induktion.
17.02.2011, 17:19	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte mal statt $\begin{eqnarray} F(n) \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} G(n) := \frac{F(n)}{n+1} \end{eqnarray}$ . Für die gilt dann gemäß der Eigenschaften von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(n+1) - G(n) = \frac{2n}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ mit Startwert $\begin{eqnarray} G(0)=0 \end{eqnarray}$ (die Angabe von G(1)=0 ist bereits redundant). Nachzuweisen ist dann $\begin{eqnarray} G(n) = 2\cdot \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray}$ . Die Teleskopsummenstruktur ist geradezu offensichtlich.
17.02.2011, 18:41	stud-ente	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab mir das jetzt durchüberlegt und aufgeschrieben, das ist wirklich sehr einleuchtend, danke! nur die frage, wie komm ich auf den ansatz: $\begin{eqnarray} G(n) := \frac{F(n)}{(n+1)} \end{eqnarray}$ sieht man das auf anhieb?
17.02.2011, 18:50	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Blick auf die Rekursionsgleichung, ein anderer auf die zu beweisende Behauptung, dazu noch ein gewisses Gespür für die Vereinfachung von Strukturen ... ja, dann sieht man sowas auf Anhieb. Allerdings kommt man im vorliegenden Fall auch mit normaler Induktion ganz gut zum Ziel.
17.02.2011, 19:15	stud-ente	Auf diesen Beitrag antworten »
beim mehrmaligen draufschaun... ja stimmt, würde genügen wenn man das was zu zeigen ist geschickt einsetzt, dann hat man es. vielen dank auf jeden fall
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