Frage zu Logarithmus

17.02.2011, 17:20

chris-111

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Frage zu Logarithmus

Meine Frage:
Ich sitze vor folgendem Problem:
Ich muss folgende Ungleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} 0,96^k <0,01 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. Lösung(ich denke die richtige):
$\begin{eqnarray*} k\cdot ln(0,96) < ln(0,01) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k> 113 \end{eqnarray*}$

2. Lösung(was mache ich falsch??):
$\begin{eqnarray*} k\cdot log_{0,96}(0,96) < log_{0,96}(0,01) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k<113 \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch? Wenn ich mit Logarithmen zu Basen kleiner Null rechne, muss ihc dann etwas beachten?

17.02.2011, 17:30

baphomet

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RE: Frage zu Logarithmus
$\begin{eqnarray*} k\cdot\ln(0,96) <\ln(0,01) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k<\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,96)} \end{eqnarray*}$

Dann sollte das richtige Ergebnis herauskommen

17.02.2011, 17:33

chris---111

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ln(0,96)<0 =>Division mit <0 => Umkehrung des Ungleichheitszeichen

17.02.2011, 17:35

baphomet

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Deine zweite Lösung stimmt und ergibt sich aufgrund der Regel, das bei Multiplikation
bzw. Division mit einer negativen Zahl sich das Ungleichheitszeichen umdreht.

17.02.2011, 17:39

chris---111

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Bei meiner 2. Lösung dreht sich doch nichts um!

Ich weiß wirklich nicht was du meinst???

17.02.2011, 17:41

Iorek

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Zitat:

Original von baphomet
Deine zweite Lösung stimmt und ergibt sich aufgrund der Regel, das bei Multiplikation
bzw. Division mit einer negativen Zahl sich das Ungleichheitszeichen umdreht.

Also ist für alle k<113 die Ungleichung erfüllt? Wie wäre es dann mal mit k=0 oder k=1, diese Fälle lassen sich doch schnell nachrechnen.

Für k=0 erhalten wir: 1<0.01
Für k=2 erhalten wir: 0.96<0.01

Wie kannst du so etwas nur bestätigen? Die von dir vorgeführte Rechnung mit dem natürlichen Logarithmus ist auch falsch!

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17.02.2011, 17:45

baphomet

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Nochmals zum Anfang, es gibt zwei Möglichkeiten.

1.
$\begin{eqnarray*} k\cdot\ln(0,96) <\ln(0,01) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k<\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,96)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k>112,8 \approx 113 \end{eqnarray*}$
2.

$\begin{eqnarray*} k\cdot\ln(0,96) <\ln(0,01) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\cdot -0,4082<-4,60517 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k>112,8 \approx 113 \end{eqnarray*}$

Die erste Ungleichung ist aber falsch wie sich zeigen lässt, also erst Logairthmus ausrechnen und dann umformen

17.02.2011, 17:52

Iorek

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baphomet, sehr schön, dass du mittlerweile auch zur richtigen Lösung gefunden hast, auch wenn es wieder eifrig editiert worden ist.

Die erste Ungleichung ist nur deshalb falsch, weil du falsch umgeformt hast, chris-111 hat diese scheinbar richtig umgeformt (fehlende Umformungsschritte machen die Beurteilung etwas schwerer, deinen zweiten Post hättest du vielleicht noch mit in den ersten packen sollen Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Man braucht den Logarithmus dafür auch nicht zuerst ausrechnen und sich mit irgendwelchen Näherungswerten rumschlagen. unglücklich

unglücklich

Edit: Da habe ich doch glatt was vergessen.
@chris, zu deinem ursprünglichen Problem: du wendest auf die Ungleichung eine monoton fallende Funktion an, daher dreht sich das Ungleichungszeichen schon bei der Anwendung des Logarithmus um.

17.02.2011, 17:54

Seawave

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RE: Frage zu Logarithmus

Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} k\cdot\ln(0,96) <\ln(0,01) \end{eqnarray*}$

Meines Erachtens nach stimmt das noch, weil du dann aber durch eine negative Zahl teilst (der ln von 0<x < 1 ist negativ), dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

/E: Oh, mein Post war überflüssig. Sorry Augenzwinkern

Augenzwinkern

/E2: @Iorek: Warum ist der ln monoton fallend?

17.02.2011, 18:00

chris---111

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Heißt das also, dass ich sobald ich eine Ungleichung auf beiden Seiten logarithmier(mit Basis <0), muss ich das Vorzeichen umdrehen? Nur weil der Logarithmus eine fallende Funktion ist?? Das kann ich mir i-wie net so vorstellen.

17.02.2011, 18:04

baphomet

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Sobald der Logairthmus von einer Zahl im Intervall ]0|1[ berechnet wird ist das
Ergebnis des Logarithmus negativ, damit muß bei einer Umformung das Ungleichheiszeichen umgedreht werden.

Der Logairthmus naturalis ist eine monoton steigende Funktion, dein
linker Term der Ungleichung ist aber monoton fallend, umso größer k wird umso
kleiner wird das Ergebnis.

17.02.2011, 18:05

Iorek

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@Seawave, ich meinte nicht den natürlichen Logarithmus, ich bezog mich auf die zweite Lösung wo $\begin{eqnarray*} \log_{0{,}96} \end{eqnarray*}$ verwendet wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@chris---1, ja, wenn du den Logarithmus auf eine Ungleichung anwendest und die Basis kleiner als 1 ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und erhält deshalb das Ungleichheitszeichen.

Edit: baphomet, deine Aussage glaubst du aber selber nicht, oder? unglücklich

unglücklich

17.02.2011, 21:13

Chris---11111

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Merci

Freude

17.02.2011, 22:03

chris---111

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Jetzt habe ich noch eine Frage.

Wann muss ich denn allgemein formuliert das Vorzeichen einer Ungleichung umdrehen?
Wenn ich auf die Ungleichung eine monoton fallende Funktion anwende? Ist die Multiplikation mit -1 eine fallende Funktion. Bzw. wie kann ich -1 als Funktion interprezieren und wenn dann ist ja y=-1 nicht streng monoton fallend. Danke für eure Mühen, chris-111

17.02.2011, 22:15

Nelstar

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Zitat:

Original von chris---111
Jetzt habe ich noch eine Frage.

Wann muss ich denn allgemein formuliert das Vorzeichen einer Ungleichung umdrehen?

Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 3 < 4 | *(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3 > -4 \end{eqnarray*}$

17.02.2011, 22:20

Iorek

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Wir haben eine Ungleichung $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und eine monoton fallende Funktion $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Jetzt wenden wir die Funktion auf diese Ungleichung an; da die Funktion aber monoton fällt, ist der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nun kleiner als der Funktionswert von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ; anschaulich im Koordinatensystem: der Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegt links vom Wert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , da die Funktion monoton fällt, sind die Funktionswerte "links immer größer als rechts".

18.02.2011, 00:49

Chris-----1

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Cool das bedeutet als wenn ich mit -1 multipliziere, dann Wende ich die Funktion f(x)=-1x an und da diese Str mon fällt, muss das < bzw >umgewandelt werden?

18.02.2011, 01:00

Iorek

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Ja.

Freude

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto -x \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, damit gilt:

$\begin{eqnarray*} a<b \Leftrightarrow \underbrace{-a}_{=f(a)} > \underbrace{-b}_{=f(b)} \end{eqnarray*}$

18.02.2011, 01:20

Chris--1

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Gott

Freude

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