unendlich abzählbar ?

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peteeer Auf diesen Beitrag antworten »
unendlich abzählbar ?
Meine Frage:
besteht ein vektorraum wenn er unendlichdimensional ist eigentlich immer aus abzählbar unendlich vielen basen oder können es auch überabzählbar viele sein?


Meine Ideen:
man kann immer die kanonische nehmen, welche abzählbar wäre?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn überhaupt, dann aus abzählbar unendlich vielen Basisvektoren, nicht aus abzählbar unendlich vielen Basen. Das sind verschiedene Dinge.

Zur eigentlichen Frage: Ein Vektorraum kann durchaus überabzählbare Basen besitzen. Jeder unendlich-dimensionale Banachraum hat z.B. eine solche (s. Satz von Baire).

air
peteeer Auf diesen Beitrag antworten »

sorry. ich meinte ob für einen unendlich dimensionalen vektorraum EINE basis abzählbar oder überabzählbar unendlich ist.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern ist dir denn meine Antwort noch nicht genug? Ja, es gibt Räume, die eine überabzählbare Basis besitzen.

Edit: Es gibt aber natürlich durchaus auch unendlich-dimensionale Räume mit abzählbar unendlicher Basis. Ein Beispiel dafür solltest du kennen - es ist auch eines der Standardbeispiele für unendlichdimensionale Räume insgesamt.

air
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