LGS Eigenvektoren

17.02.2011, 18:27

dejahr

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LGS Eigenvektoren

Meine Frage:
Ich habe folgende Matrix nachdem ich einen Eigenwert eingesetzt habe, mit algebraischer Vfh=2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und soll ja jetzt 2 lin. unabhängige eigenvektoren raus bekommen???

Meine Ideen:
also ich setzt x3=m und x2=n

aber was mach ich dann?

17.02.2011, 18:44

Cel

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Edit: Hier stand gerade Quatsch ...

Nun setzt du deine gewählten freien Variablen in die erste Zeile ein und löst nach x1 auf.

17.02.2011, 18:48

dejahr

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so bekomme ich dann x1 heraus. aber wie bekomme ich den rest. ich brauch doch linear unabhängige vektoren???

17.02.2011, 19:00

Cel

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Schreib dann mal deinen Lösungsvektor auf und schreib ihn als Summe zweier Vektoren, der eine sollte nur m enthalten und der andere nur n. Dann kannst du ausklammern und bekommst zwei Vektoren.

17.02.2011, 21:08

dejahr

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aber dann bekomme ich doch:

$\begin{eqnarray*} 4x_{1}+2m+2n=0<br /> <br /> \Rightarrow x_{1}=-\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}n \end{eqnarray*}$ und so geht das ja weiter wenn ich die jetzt in die nächste spalte einfüge dann kommt da auch für m und n immer die gleichen Koeffizienten heraus. irgendwie steh ich aufm Schlauch

17.02.2011, 21:24

Cel

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Du hast doch jetzt für alle $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die Lösung parat, der Lösungsvektor ist

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}m - \frac{1}{2}n \\ n \\ m \end{pmatrix}, \, n,~m \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Und jetzt lies dir noch mal meinen Tipp von oben durch ...

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17.02.2011, 21:30

dejahr

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dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} m\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
müsste so stimmen,
hab aber in der Lösung der Aufgabe: $\begin{eqnarray*} m\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rührt das da her dass die einfach anders m und n gesetzt haben?

danke

17.02.2011, 21:37

Cel

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Diese beiden Ebenen sind nicht gleich, müssten sie aber sein, damit beide Ergebnisse stimmen könnten. Tja, dann gib mal lieber die komplette Aufgabenstellung an. Übrigens solltest du das so oder so immer machen.

Einen Fehler in der Lösung kann man natürlich nie ausschließen, aber schauen wir mal ...

17.02.2011, 21:50

dejahr

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mmh aber bis da hin hab ich keine Porbleme in der Aufgabe gehabt.

Also:
Gesucht ist die Lösung des DGL-Systems:

$\begin{eqnarray*} y'(t)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} y(t)+\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also Eigenwerte ausgerechntet für homogene Lösung:
über $\begin{eqnarray*} det[A-\alpha I] \end{eqnarray*}$

EW1=3 EW2,3=-3

so einsetzen in Matrix A kommt für EW1=3 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für EW2,3=-3 eben genau das obig genannte.

hatte die matrix aber in ein Rechner im internet gegeben und da kamen auch die eigenvektoren die wir hier ausgerechnet haben heraus?

17.02.2011, 21:57

Cel

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Zitat:

Original von dejahr
hatte die matrix aber in ein Rechner im internet gegeben und da kamen auch die eigenvektoren die wir hier ausgerechnet haben heraus?

Ich auch. Du hast Recht, deine (und auch meine) Rechnung ist ok.

17.02.2011, 22:02

dejahr

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so ein mist, weil danach muss ich ja noch die spezielle Lsg ausrechnen und komm dann natürlich auf ganz andere Sachen. kann dann nicht sagen obs richtig ist.

trotzdem danke jetzt hab ich das mit den EV verstanden.

18.02.2011, 16:25

2,718

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müsste die Lsg nicht davon abhängen welche variable du parameterisierst?
In deinem Fall x2,x3.

Bei der Lsg würde ich sagen, dass X2 die frei variable wäre, falls ich mich irre korriegiert mich.

18.02.2011, 17:40

Cel

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@2,718: Schon, aber wenn wir uns das hier mal angucken ...

Zitat:

Original von dejahr
dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} m\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
müsste so stimmen,
hab aber in der Lösung der Aufgabe: $\begin{eqnarray*} m\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... stellen wir fest, dass diese beiden Ebenen (durch 0) nicht dieselben sind, das sehen wir zum Beispiel durch Vergleich der Normalenvektoren.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\- 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig, also entweder ist in der Lösung ein Fehler oder hier im Thread ist einer, den ich aber gerade nicht sehe ... Zusätzlich habe ich auch noch anders die freien Variablen gewählt, passt immer ...

18.02.2011, 21:23

2,718

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soetwas habe ich mir auch schon inderart gedacht.

Der Spann der eigenvektoren müsste doch derslbe sein oder?

Übrigens, also ich hab die eigenwerte nicht berechnet aber man sieht doch schon das 0 einer sein muss, wieso ist dann die Lsg nur 3,-3

18.02.2011, 23:24

Cel

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Der Spann muss identisch sein, genau das habe ich mit den Normalenvektoren überprüft. Übrigens sieht man auch anders, dass die Lösung falsch sein muss, der Vektor (0,2,-1) ist kein Eigenvektor zum Eigenwert -3, einfach mal ausmultiplizieren, es passt nicht.

Übrigens, wie kommst du darauf, dass 0 Eigenwert sein müsste?

19.02.2011, 18:46

2,718

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Das CP sagt ja aus für welche werte, die det 0 wird, also wann der rang der Matrix nicht voll ist. Und die zweite und dritte Spalte sind identisch, also hat die Matrix bereit nciht den vollen Rang udn dann ist 0 immer ein eigenwert

Ich hoffe das Stimmt so

lg e

19.02.2011, 18:51

Cel

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Das, was im ersten Beitrag steht, ist bereits die Matrix, die zur Bestimmung des Eigenraumes zum Eigenwert -3 gelöst werden muss. Die Matrix, um die es geht, steht weiter unten und hat keine identischen Spalten.

19.02.2011, 19:31

2,718

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ich nehm alles zurück Ups

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