Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²

17.02.2011, 22:23

Tricorax

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Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²

Meine Frage:
Ich möchte ein allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²

Gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} \alpha = 90° ; \beta = 80° ; \gamma = 95° ; \delta = 80° \end{eqnarray*}$

Seite: b = 20 cm

Unbekannt: a ; c ; d ; e ; f

Meine Ideen:
Irgendwie habe ich keine Ansätze, was wohl daran liegt dass die Thematik in der Schule schon gut 15 Jahre her ist und ich für meinen beruflichen Alltag sowas nie benötige. Habe versucht es irgendwie über Dreiecksberechnung zu lösen aber es fehlen einfach zu viele Seiten..Die Anwendung von tan, sin usw. ist über die Jahre verloren gegangen.

Ich hoffe man kann mir helfen...

17.02.2011, 22:33

Trico

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Korrektur:

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha = 90° ; \beta = \gamma = 95° ; \delta = 80° \end{eqnarray*}$ ; A = 380,5 cm²

Seite b = 20 cm

17.02.2011, 22:34

tigerbine

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Warum 2 Accounts? Bitte behalte den zweiten. Der erste wird gelöscht. Danke.

17.02.2011, 22:48

Trico

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Wollte posten ohne einen Benutzer anzulegen was auch funktioniert hatte. Allerdings konnte ich ihn dann nicht editieren (wusste nicht dass automatisch ein user mit pw angelegt wird)

Daher habe ich einen richtigen Acc angelegt. Der User Trico wird behalten.

Sorry

17.02.2011, 22:54

tigerbine

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²

Zitat:

Original von Tricorax

$\begin{eqnarray*} \alpha = 90° ; \beta = \gamma = 95° ; \delta = 80° \end{eqnarray*}$ ; A = 380,5 cm²

Seite b = 20 cm

Wie würdest du versuchen, das Viereck (anfangen) zu zeichnen?

17.02.2011, 23:34

Trico

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Ich habe es schon gezeichnet (Skizze). Es ist Teil eines größeren Werkstücks ( symmetrisches Trapez mit aufgesetztem Kreissegment auf der längeren Grundseite des sym. Trapezes)

Der Gesamtflächeninhalt A =761 cm²

Nun möchte ich das Werkstück am Schenkel des Trapezes (im rechten Winkel) so 'teilen' dass dabei ein Viereck mit A =380,5 cm² herauskommt. Allerdings stehe ich total auf dem Schlauch an welcher Stelle des Trapezschenkels ich den rechten Winkel ansetzen muss um den gewünschten Flächeninhalt zu erhalten. Ich muss es halt errechnen aber irgendwie habe ich nicht die passende Formel parat um mit dem Flächeninhalt und den gegebenen Winkeln/Seite die restlichen Seitenlängen zu berechnen.

Mir ist das Problem schon bissel peinlich... Ups

Ups

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17.02.2011, 23:37

tigerbine

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Du hast ja nur eine Seite als fix vorgegeben. Da habe ich - nach meiner Skizze - noch 2 Freiheiten, unter denen ich dennoch der vorgegeben Innenwinkelsumme genüge.

Zitat:

Nun möchte ich das Werkstück am Schenkel des Trapezes (im rechten Winkel) so 'teilen' dass dabei ein Viereck mit A =380,5 cm² herauskommt.

Das ist eine neue Info. Könntest du deine Skizze hier einstellen (scannen oder Geogebra?) und kennzeichnen, wie das neue Werkstuck aussehen soll. Und das muss dir nicht peinlich sein.

17.02.2011, 23:50

Trico

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Hier ist meine Skizze:

[attach]18198[/attach]

Draufklicken und die Qualität wird besser. :-)

Das Viereck der Punkte ABCD soll den Flächeninhalt 380,5 cm² haben. Das Kreissegment habe ich in der Skizze weggelassen das es für das Problem uninteressant ist.

17.02.2011, 23:57

René Gruber

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Betrachte den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} DC \end{eqnarray*}$ - der wird wahrscheinlich nicht mehr aufs Blatt Papier passen: Big Laugh

Big Laugh

[attach]18199[/attach]

Dann ist $\begin{eqnarray*} BCS \end{eqnarray*}$ ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite $\begin{eqnarray*} b=20 \end{eqnarray*}$ und den Basiswinkeln $\begin{eqnarray*} 180^{\circ}-95^{\circ} = 85^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Du kannst nun sowohl Schenkellänge als auch die Fläche dieses gleichschenkligen Dreiecks berechnen. Letztere Fläche ergibt zusammen mit dem gegebenen Flächeninhalt 380.5 den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks $\begin{eqnarray*} SDA \end{eqnarray*}$ , dessen Innenwinkel dir bereits bekannt sind - damit kannst du auch alle Seiten berechenn.

Der Rest der Vierecksseiten sollte dann berechnungsmäßig schnell folgen.

18.02.2011, 00:06

tigerbine

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Nur, damit ich das richtig verstehe. Du hast das große Werkstück mit [BC]=20cm und den Winkeln 95°. Wir suchen nun [AB] so, dass wenn man dort 90° schneidet, das entstehende Viereck die Fläche 380,5 hat?

Das mag nun nicht der beste Weg sein. Also, ich würde die Figur in ein Dreieck - 90° Schnitt durch B und dann eben ein Trapez zerlegen. Verstehst du, was ich meine?

Zur Fläche des Dreiecks. Wir kennen alle Winkel und eine Seite. Mit dem Sinussatz können wir uns alle Seiten berechnen, mit dem Satz von Heron dann der Flächeninhalt.

Nun ergibt sich die Restfläche für das Trapez. Schön ist, dass [AB] nun die Höhe des Trapezes ist. Für die Flächenformel brauchen wir nun noch die Mittelparallele. Da kennen wir - durch die Berechnungen am Dreieck - schon eine der Seiten (die kürzere). Die zweite Können wir wieder mit dem Sinussatz in Abhängigkeit von [AB] ausdrücken.

Damit sollte das Problem lösbar sein. Erstaunt2

Erstaunt2

18.02.2011, 07:56

Trico

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Aloha,

erstmal vielen Dank für die nächtlichen Lösungsvorschläge !

Den Lösungsvorschlag von René kann ich gedanklich nachvollziehen und wird heute nachmittag einer prüfenden Berechnung unterzogen, da ich zur Zeit bei der Arbeit bin.

@tigerbine

Deiner Lösung musste ich schon mehr Gedankenkraft opfern, überprüfen/berechnen kann ich es auch erst heute nachmittag.

Erstmal vielen Dank, muss mir jetzt nochmal die Sinus- , Kosinus- und Tangenssätze zu Gemüte führen...ich will ja auch verstehen was ich da mache...

18.02.2011, 10:32

René Gruber

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Anzumerken ist noch, dass die obige Rechnung auch nicht wesentlich komplizierter wird, wenn die hier "günstigen" Winkelvoraussetzungen $\begin{eqnarray*} \beta=\gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=90^{\circ} \end{eqnarray*}$ nicht mehr gegeben sind, d.h. bei "allgemeiner" Winkellage.

18.02.2011, 12:33

tigerbine

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²

Zitat:

Original von Trico
@tigerbine

Deiner Lösung musste ich schon mehr Gedankenkraft opfern, überprüfen/berechnen kann ich es auch erst heute nachmittag.

Erstmal vielen Dank, muss mir jetzt nochmal die Sinus- , Kosinus- und Tangenssätze zu Gemüte führen...ich will ja auch verstehen was ich da mache...

Ich habe kein Problem damit, wenn du den anderen Lösungsweg nimmst. Sagte ja, meins muss nicht optimal sein. Also quäl dich nicht. Big Laugh

Big Laugh

18.02.2011, 12:51

Trico

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
Ne Quälerei war es in der Schule, jetz ist es für mich wichtiges Allgemeinwissen das man können und verstehen sollte. Allerdings schade dass man sowas erst später merkt und einem die Wichtigkeit nicht schon in der Schule bewusst wird.

MfG

Trico

18.02.2011, 12:56

riwe

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RE: Allgemeines Viereck konstruieren mit A= 380,5 cm²
da hat sich ja einiges geklärt.
mir war schleierhaft, wie man das konstruieren können soll Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich male noch eine lösung für die seite a her:

$\begin{eqnarray*} a^2\cdot sin10 +ab(sin95+sin85)-(2A\cdot cos10+b^2\cdot sin95\cdot cos95)=0\to a\approx 34.878 \end{eqnarray*}$

edit: ich hatte einen ziffernsturz A=830.5 statt A = 380.5

mit dem korrekten wert erhalte ich

$\begin{eqnarray*} a\approx 16.72 \end{eqnarray*}$

18.02.2011, 13:46

René Gruber

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Dann mal hier meine obigen Lösungsgedanken in konkreter Rechnung, für beliebige konvexe Innenwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma,\delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha+\delta < 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} \sigma := |\angle ASD| \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sigma = 180^{\circ}-\alpha-\delta = \beta+\gamma-180^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt im Dreieck $\begin{eqnarray*} BSC \end{eqnarray*}$ nach Sinussatz

$\begin{eqnarray*} |BS| &=& \frac{b\sin(\gamma)}{\sin(\sigma)}<br /> |CS| &=& \frac{b\sin(\beta)}{\sin(\sigma)}<br /> F_{BSC} &=& \frac{b^2\sin(\beta)\sin(\gamma)}{2\sin(\sigma)} \end{eqnarray*}$

Analog, nur mit etwas anderen Winkeln, im Dreieck $\begin{eqnarray*} ASD \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |AS| &=& \frac{d\sin(\delta)}{\sin(\sigma)}<br /> |DS| &=& \frac{d\sin(\alpha)}{\sin(\sigma)}<br /> F_{ASD} &=& \frac{d^2\sin(\alpha)\sin(\delta)}{2\sin(\sigma)} \end{eqnarray*}$

Über die Verbindung $\begin{eqnarray*} F_{ASD} = F_{ABCD}+F_{BSC} \end{eqnarray*}$ lässt sich damit nun $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{\frac{2\sin(\sigma)F_{ABCD} + b^2\sin(\beta)\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)\sin(\delta)}} \end{eqnarray*}$

Die beiden noch fehlenden Seiten sind anschließend schnell erledigt:

$\begin{eqnarray*} a &=& |AS|-|BS| = \frac{d\sin(\delta)-b\sin(\gamma)}{\sin(\sigma)}<br /> c &=& |DS|-|CS| = \frac{d\sin(\alpha)-b\sin(\beta)}{\sin(\sigma)} \end{eqnarray*}$ .

18.02.2011, 17:49

Trico

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Zitat:

Original von René Gruber

Über die Verbindung $\begin{eqnarray*} F_{ASD} = F_{ABCD}+F_{BSC} \end{eqnarray*}$ lässt sich damit nun $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{\frac{2\sin(\sigma)F_{ABCD} + b^2\sin(\beta)\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)\sin(\delta)}} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht meine Werte entsprechend in die Formel einzusetzen bekomme aber einen Wert der nicht richtig sein kann.

Errechnet habe ich:

$\begin{eqnarray*} F_{BSC} = 1143,01 cm² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |BS| = |CS| = 114 cm \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun rechne:

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{\frac{(2\sin(10°) 380,5) + (20^2\sin(95°)\sin(95°))}{\sin(90°)\sin(80°)}} \end{eqnarray*}$

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} d = 5,21 \end{eqnarray*}$

Das kann nicht sein...was mach ich falsch ? ?

Dazu kommen wir später:

Zitat:

Original von René Gruber

Die beiden noch fehlenden Seiten sind anschließend schnell erledigt:

$\begin{eqnarray*} a &=& |AS|-|BS| = \frac{d\sin(\delta)-b\sin(\gamma)}{\sin(\sigma)}<br /> c &=& |DS|-|CS| = \frac{d\sin(\alpha)-b\sin(\beta)}{\sin(\sigma)} \end{eqnarray*}$ .

18.02.2011, 18:47

René Gruber

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Zitat:

Original von Trico
Wenn ich nun rechne:

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{\frac{(2\sin(10°) 380,5) + (20^2\sin(95°)\sin(95°))}{\sin(90°)\sin(80°)}} \end{eqnarray*}$

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} d = 5,21 \end{eqnarray*}$

Da kann ich dir nicht helfen, ich erhalte mit derselben Formel und denselben eingesetzten Werten $\begin{eqnarray*} d\approx 23.18 \end{eqnarray*}$ sowie in der Folge $\begin{eqnarray*} a\approx 16.72 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\approx 18.75 \end{eqnarray*}$ .

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