Auflösen einer komplizierten Gleichung

18.02.2011, 00:52	Sastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösen einer komplizierten Gleichung Meine Frage: Hallo Ich habe ein Problem mit einer komplizierten Gleichung: $\begin{eqnarray} h_i = sin(X)(a_i+b_iY+c_iZ)+cos(X)(d_i+e_iY+f_iZ) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} X, Y, Z \end{eqnarray}$ meine Unbekannten sind, nach denen ich auflösen will und $\begin{eqnarray} a_i...f_i \end{eqnarray}$ Koeffizienten sind, von denen mir beliebig viele Sätze zur Verfügung stehen. Ich habe also beliebig viele Gleichungen zur Verfügung. Die Koeffizienten sind rationale Zahlen. Leider komme ich nicht weiter, da mir keine Umformungen einfallen, die eine der Variablen isolieren. Weiss hier jemand evtl. zu helfen? Danke Meine Ideen: Ich habe schon in alle möglichen Sinus/Cosinus-Regelwerke geschaut und nichts brauchbares gefunden... Also keine eigene Idee mehr
18.02.2011, 09:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt 2 Varianten, wie man deine Frage verstehen kann: Variante 1: Du hast ein Gleichungssystem für die 3 Unbekannten X,Y,Z, wobei alle Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_i, b_i, c_i, d_i, e_i, f_i, h_i \end{eqnarray}$ mit i=1,2,3 gegeben sind (also auch die Koefizienten $\begin{eqnarray} h_i \end{eqnarray}$ , die du in deiner Frage nicht genannt hast) $\begin{eqnarray} h_1=\sin(X)\cdot (a_1+b_1Y+c_1Z)+\cos(X)\cdot (d_1+e_1Y+f_1Z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_2=\sin(X)\cdot (a_2+b_2Y+c_2Z)+\cos(X)\cdot (d_2+e_2Y+f_2Z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_3=\sin(X)\cdot (a_3+b_3Y+c_3Z)+\cos(X)\cdot (d_3+e_3Y+f_3Z) \end{eqnarray}$ In diesem Falle musst du das Gleichungssystem einfach lösen, wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung noch untersucht werden muss. Variante 2: Du hast beliebig viele Datensätze $\begin{eqnarray} a_i, b_i, c_i, d_i, e_i, f_i, h_i \end{eqnarray}$ gegeben (z.B. Messwerte). Du weißt, dass diese Datensätze näherungsweise folgende Funktion erfüllen $\begin{eqnarray} h=\sin(X)\cdot (a+bY+cZ)+\cos(X)\cdot (d+eY+fZ) \end{eqnarray}$ Du suchst diejenigen Werte X,Y,Z, für welche diese Funktion "die beste" Näherung darstellt. Die Gleichung muss also nicht für jeden Datensatzt exakt gelten, sondern nur optimal sein. Das wäre eine Extremwertaufgabe für die 3 Variablen X,Y,Z. Man minimiert in diesem Falle die Abweichungen $\begin{eqnarray} \Delta h \end{eqnarray}$ mit der "Methode der kleinsten Quadrate" .
18.02.2011, 10:25	Sastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis Variante 1 trifft zu. Es handelt sich bei den Koeffizienten (inkl. h) und Funktionswerte bekannter Funktionen. Dein Hinweis, dass man in diesem Falle das Gleichungssystem "einfach lösen" muss ist der richtige, allerding auch der, der mir seit Wochen Kopfschmerzen bereitet, da ich keine Lösung finde. Hast Du eine Idee, wie ich da vorgehen könnte? Wenn man da nicht vorankommt, kann man es ja auch mit Methode 2 probieren. Würde man mit Zufallswerten beginnen? Und dann nen Simplexalgorithmus anwenden? Lg M
18.02.2011, 10:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht so, dass man sich "ausuchen" kann, ob man Methode 1 oder 2 anwendet. Das hängt davon ab, wieviel Datensätze man hat. Wenn man genau 3 Datensätze hat, muss man Methode 1 anwenden (Gleichungssystem lösen). Hat man mehr als 3 Datensätze, ist Methode 2 anzuwenden (Methode der kleinsten Quadrate).
18.02.2011, 11:01	Sastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe beliebig viele Datensätze, da die Koeffizienten zz aus Funktionen erstellt werden (Simulationsmodell, wo X, Y und Z bekannt sind und überprüft werden können). Später erst soll das ganze in einem Live-System getestet werden, dann allerdings mit unbekannten X, Y und Z und dafür brauch ich die Rechenanleitung, wie ich da vorgehen muss. Dafür kann ich wieder beliebig viele Messungen durchführen.
18.02.2011, 11:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du also beliebig viele Datenssätze hast, musst du die Werte X,Y,Z wie gesagt mit der Methode der kleinsten Quadrate ermitteln. Das führt auf eine Extremwertaufgabe für X,Y,Z, wobei diese so berechnet werden, dass die Funktion h=... die gegebenen Datensätze "am besten" anpasst. Ich kann dir das hier aber nicht erläutern. Das Prinzip funktioniert genauso wie bei der "linearen Regression", wo man die "beste Gerade" sucht, welche durch n Wertepaare $\begin{eqnarray} (x_i,y_i) \end{eqnarray}$ hindurchgeht.
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