Windschiefe Geraden spannen eine Ebene auf

18.02.2011, 10:14

Thomas 93

Windschiefe Geraden spannen eine Ebene auf

Hallo zusammen, in der Schule haben wir gerade das Thema Geraden und Ebenen. Nun haben wir mit Ebenen angefangen und gelernt, dass zwei Vektoren immer dann eine Ebene aufspannen, wenn sie linear unabhängig voneinander sind. An Hand eines dreidimensionalen Bilds kann ich mir das Ganze auch gut vorstellen, so lange sich die "Gerade der Vektoren" in einem Punkt schneiden. Sind die Vektoren aber nun zueinander windschief, so spannen sie trotzdem eine Ebene auf.
Das Ganze zu berechnen ist nicht das Problem, ich kann es mir nur nicht optisch vorstellen und bin bei meiner Suche auf kein passendes Bild gestoßen. Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

18.02.2011, 10:27

kurellajunior

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Hier liegt ein Problem im Verständnis des Begriffs Vektor vor:

Zitat:

Ein Vektor ist die Klasse aller Pfeile einer bestimmten Länge und einer bstimmten Richtung.

Du kannst also den "Startpunkt" eines Vektors frei wählen, es bleibt immer derselbe Vektor. Für die Vorstellung kannst Du also zwei Vektoren immer so legen, dass sie eine (genauer beliebig viele parallele) Ebenen aufspannen. Um die Ebene dann eindeutig zu bestimmen brauchst Du noch einen "Stützvektor" der ausgehend vom Ursprung genau einen Punkt der Ebene "markiert".
Zwei windschiefe Geraden spannen im 3-dimensionalen Raum niemals eine Ebene auf smile

18.02.2011, 10:29

lgrizu

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RE: Windschiefe Geraden spannen eine Ebene auf
Zwei Vektoren können nicht zueinander windschief sein, zwei Geraden aber.

Die Vorstellung, dass Vektoren immer im Ursprung beginnen sollte hier hilfreich sein.

Ich meine zu glauben, was du meinst und wo dein Denkfehler liegt, genau sagen kann ich es aber nicht.

Die Richtungsvektoren zweier zueinander windschiefer Geraden spannen eine Ebene durch den Ursprung auf.

Nimmt man nun einen Punkt einer der beiden Geraden, und verschiebt die Ebene um diesen Punkt, so liegt eine der beiden Geraden vollständig in der Ebene, die andere liegt parallel zu der Ebene, dass beide Geraden in der Ebene liegen wird schwer. Augenzwinkern

Nehmen wir einmal die beiden Geraden $\begin{eqnarray*} g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}+ s \begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}3 \\1 \\2\end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , diese sind sicherlich windschief.

Wir konstruieren eine Ebene, die zu beiden parallel ist und durch den Urprung geht, dazu nehmen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden als Spannvektoren der Ebene:

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}= s \begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun verschieben wir diese Ebene um den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also den Stützvektor der
Geraden g_1 und erhalten:

$\begin{eqnarray*} E_{1'}: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}+ s \begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir stellen fest, dass der Punkt (3,1,2) nicht in der Ebene liegt, also die Gerade g_2 nicht in der Ebene liegt, wohl aber parallel dazu, die gerade g_1 liegt jedoch vollständig in der Ebene.

18.02.2011, 21:05

Thomas 93

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@ kurellajunior: Ja genau das war es. Vektoren geben Richtungen an, sind aber nicht auf Punkte festgeschrieben,...

@ lgrizu: Danke für die ausführliche Erklärung.

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