Supremum, Infimum mit Epsilon-Kriterium bestimmen

18.02.2011, 10:15

mario_o9

Supremum, Infimum mit Epsilon-Kriterium bestimmen

Hallo,
ich bin gerade dabei für meine Mathe Klausur zu lernen, aber ich habe ein Problem bei diesem Epsilon-Kriterium.

Habe z.B. folgendes: Menge bestehend aus x aus reelen Zahlen, x = 1/n, n Element von den natürlichen Zahlen
Lösung:
0 < 1/n <= 1 => sup (M) = max(M) = 1 , da ja <= gilt!
Nun muss ich beweisen, dass 0 mein Infimum ist (min existiert ja nicht)

In der Lösung machen die das mit dem Epsilon Kriterium, aber ich versteh das irgendwie nicht. Ich muss ja sozusagen beweisen, dass | a - 0 | = | a | < Epsilon gelten muss.
Die sagen da in der lsg, dass für alle Epsilon > 0 ein m0 Element N existiert mit: 1/m0 < Epsilon => m0 > 1/epsilon

Warum auf einmal dieses m0? Ist mein m0 einfach ein n, ab dem dieses Kriterium erfüllt ist, d.h. dass für n >= m0 diese Bedingung erfüllt ist? Wie nennt sich dieses Kriterium eigentlich genau? Im Skript find ich dazu nix; ist das das Epsilon - n0 Kriterium?

18.02.2011, 11:04

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RE: Supremum, Infimum mit Epsilon-Kriterium bestimmen
Naja, was die eigentlich beweisen ist nicht, dass die 0 das Infimum ist, sondern der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Da für alle $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ gilt, hast du damit das Infimum gefunden.

Jetzt möchtest du also nachweisen, dass Null der Grenzwert dieser Folge ist - also lapidar formuliert das Element "im Unendlichen". Wir machen das mal etwas allgemeiner:

Das "Kriterium" ist die Definition des Grenzwertes. Für einen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ (also zum Beispiel die reellen oder die komplexen Zahlen, da ich nicht weiß, wie ihr genau definiert habt hier in dieser Allgemeinheit) gilt: Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ hat einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{K} \end{eqnarray*}$ wenn für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ existiert, sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} \|a_n-a\|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet: Der Index n_0 ist tatsächlich der Index, ab dem diese Bedingung gelten muss. Aber was besagt die Bedingung?
Die sagt einfach nur: Ab diesem n_0 sind alle Folgenglieder näher dran als die 0 als dein vorher gewähltes Epsilon. Jetzt kannst du das Epsilon aber beliebig klein machen. Wenn du immer so ein n_0 findest, dann heißt das ja, dass die Werte immer näher an das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rücken. Man nennt deswegen den Bereich $\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon,a+\varepsilon \end{eqnarray*}$ auch "Epsilon-Schlauch".
Und natürlich kannst du zu Beginn der Folge beliebig viele Folgenglieder abschneiden. Der Anfang deiner Folge hat ja nichts damit zu tun, wie sich die Folge im Unendlichen entwickelt.

Kannst du damit nachvollziehen, warum dieses Kriterium dir sagt, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dein Grenzwert ist?

Gruß
MI

18.02.2011, 11:33

mario_o9

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Genau das habe ich ja verstanden, vll sogar nochn ticken besser! Danke erstmal dafür Freude

Aber wie genau gehe ich jetzt an diese Aufgabe heran. Ich will zeigen, dass | an - a | < Epsilon ist!
Habe noch ein weiteres Beispiel.
a(n) = 1/m + (-1)^n / n
Ich setze also meine Folge ein:

| 1/m + ((-1)^n / n) - a | < Epsilon

Jetzt haben wir n = 1 gesetzt und m = m0! Warum geht das? Wie komm ich darauf! Was muss ich mir überlegen, um auf die Lösung zu kommen

18.02.2011, 11:43

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Okay, nehmen wir das erste Beispiel mit 1/n.

Es gilt offenbar: 1>1/2>1/3>1/4>...
Jetzt geben wir uns ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor und müssen jetzt dieses komische n_0 finden. Dabei hilft uns jetzt, dass wir wissen, dass die Folge, die wir betrachten, monoton fällt (was bei deinem zweiten Beispiel nicht der Fall ist, aber da kannst du eine ähnliche Bedingung hinbekommen).
Es gilt $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , also gibt es insbesondere irgend so ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \varepsilon>\frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ .
Das folgt aus dem archimedischen Prinzip, wenn ich mich daran richtig erinnere. Aber irgendwie ist das "intuitiv", dass es so ein m gibt Augenzwinkern

.
Naja, jetzt wählen wir doch einfach $\begin{eqnarray*} n_0:=m \end{eqnarray*}$ dann gilt wegen der Monotonie:
$\begin{eqnarray*} |a_n|<|\frac{1}{n_0}|=|\frac{1}{m}|<\varepsilon \end{eqnarray*}$
Und schon sind wir fertig, da unser Epsilon ja beliebig war.

Kannst du das jetzt auf deine zweite Folge anwenden?

Gruß
MI

PS: Von mir gibt's erst im Laufe des Nachmittags wieder eine Antwort, ich habe jetzt erst einmal eine Einsicht.

19.02.2011, 10:25

mario_o9

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So, da ich für zwei Klausuren gleichzeitig lernen muss, schreib ich erst jetzt wieder:
Danke erstmal für die Erklärung, dann will ich mal anfangen:
Meine Folge ist $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{m} + \frac{(-1)^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} <br /> 0 < \frac{1}{m} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
=> Zusammen:
$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wegen kleiner gleich hat die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ das supremum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , was auch das maximum ist.

Nun zum Infimum:
Da $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ muss infimum noch gezeigt werden.

Behauptung: infimum = 0 => aber minimum existiert nicht, da nicht in der Menge!
$\begin{eqnarray*} \forall \alpha > 0 \exists a\in M : |a_{n} - 0| < \alpha => \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} < \alpha \end{eqnarray*}$

// Ab hier bin ich mir nicht so sicher:
Nach oben abschätzen: Wähle n = 1, da $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ damit am kleinsten wird,
Ab einem m = m0 wird die Folge kleiner als alpha!
$\begin{eqnarray*} a_{n} < \frac{1}{m0} + (-1) < \alpha => \frac{1}{m0} < \alpha + 1 => m0 > \frac{1}{\alpha + 1} \end{eqnarray*}$

Ab dem "// Ab hier.." bin ich mir wie gesagt unsicher, vll könnt ihr mir nochmal genau sagen, wie ich das dann aufzuschreiben hab bzw wie ich das formulieren sollte.

Danke smile

19.02.2011, 10:59

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Ist das m ein fester Wert, oder läuft das auch?
Du benutzt es so, als laufe es auch, allerdings ist die Folge nur mit n indiziert - woraus ich schließen würde, dass 1/m einfach eine feste additive Konstante ist.

Das spielt offenbar eine große Rolle!

Nachdem wir das geklärt haben, würde ich dann auf deine Ideen eingehen.

19.02.2011, 11:25

mario_o9

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$\begin{eqnarray*} M1 = \left\{ x\in \mathbb R | x = \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} ,n,m\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Tschuldigung, dass das vll falsch rüberkam. Das ist keine Folge, sondern eine Menge, d.h. n und m müssten ja beide Variabel sein, oder seh ich das falsch? Augenzwinkern

19.02.2011, 11:57

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Ja okay. So etwas hatte ich mir fast schon gedacht, da "m" normalerweise auch eine Variable ist.

Für das Supremum hast du schon den richtigen Ansatz, aber du solltest schon die Maxima addieren Augenzwinkern

.

Zum Infimum: Null ist dann aber tatsächlich nicht das Infimum. Kannst du mir ein Tupel (m,n) aus M nennen, wo das Ergebnis kleiner Null ist?
Das sollte dir das eine Idee geben, was das Infimum sein könnte.
Entsprechend sind deine Ideen zum zweiten Teil dann falsch.

Gruß
MI

19.02.2011, 12:26

mario_o9

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Zitat:

Original von mario_o9
$\begin{eqnarray*} <br /> 0 < \frac{1}{m} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
=> Zusammen:
$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Wegen kleiner gleich hat die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ das supremum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , was auch das maximum ist.

Nun zum Infimum:
Da $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ muss infimum noch gezeigt werden.

Behauptung: infimum = -1 => aber minimum existiert nicht, da nicht in der Menge!
$\begin{eqnarray*} \forall \alpha > 0 \exists a\in M : |a_{n} - 1| < \alpha => | \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} - 1 | < \alpha \end{eqnarray*}$

// Ab hier bin ich mir nicht so sicher:
Nach oben abschätzen: Wähle n = 1, da $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ damit am kleinsten wird,
Ab einem m = m0 wird die Folge kleiner als alpha!
$\begin{eqnarray*} a_{n} < \frac{1}{m0} + (-1) - 1 < \alpha => \frac{1}{m0} < \alpha + 2 => m0 > \frac{1}{\alpha + 2} \end{eqnarray*}$

Ab dem "// Ab hier.." bin ich mir wie gesagt unsicher, vll könnt ihr mir nochmal genau sagen, wie ich das dann aufzuschreiben hab bzw wie ich das formulieren sollte.

Danke smile

So, habs mal editiert, aber ist das denn so richtig und woran hätte ich eig erkennen müssen, dass meine Annahme falsch war?! Hatte doch keinen Widerspruch drin unglücklich

19.02.2011, 13:34

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"Wegen kleiner gleich hat die Folge..." ist natürlich so nicht ganz richtig.
Da müsstest du natürlich sagen: "Da die Gleichheit für n=2 und m=1 angenommen wird hat die MENGE ihr Supremum bei..."

Naja, das Infimum wird bei -1 liegen, wie du das richtig festgestellt hast.

Jetzt kommt die Abschätzung. Da sind leider noch einige Fehler drin. Das Hauptproblem ist, dass du die Beträge einfach weggelassen hast - was hier nicht geht:
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{m0}-2|\neq \frac{1}{m0}-2 \end{eqnarray*}$
An dieser Stelle hättest du eigentlich innehalten müssen. Das linke muss kleiner als dein Alpha sein - aber wie soll das funktionieren? Das Problem ist ein Vorzeichenfehler.

Deine Grundidee ist richtig. Du kannst in der Menge schon einmal n=1 wählen, weil das für alle m jeweils das Minimum ist. Dazu müsste man vielleicht noch einen Satz schreiben, aber das spielt eher keine Rolle.
Deine Notation impliziert, dass du eine Folge hast, die hast du aber nicht - bzw. noch nicht. Mit der Wahl von n=1 und mit m als Laufindex hast du dann eine Folge (konsequenterweise mit $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen), die gegen dein Infimum laufen wird.

Also, richtiger wäre folgendes:

Zunächst stellen wir fest, dass gilt: $\begin{eqnarray*} -1<\frac{1}{m}+\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen n,m, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ .
Diese Feststellung ist enorm wichtig, weil das nichts anderes bedeutet, als dass dein Infimum $\begin{eqnarray*} inf(M)\geq -1 \end{eqnarray*}$ .

Wir konstruieren jetzt eine Folge aus Elementen der Menge , die gegen -1 konvergiert. Dann gilt in jedem Fall: $\begin{eqnarray*} inf(M)\leq -1 \end{eqnarray*}$ und damit folgt unsere Vermutung.

Wähle dazu n=-1 stets, d.h.: $\begin{eqnarray*} a_m=\frac{1}{m}-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_m\in M \end{eqnarray*}$ für alle m.

Jetzt ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0\, \exists\, m_0\in M~:~|a_m-(-1)|=|\frac{1}{m}|<\varepsilon ~~\forall m>m_0 \end{eqnarray*}$

Den Fall haben wir oben aber schon abgehandelt.

Gruß
MI

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