Darstellung endl. Gruppen: Iso Beweis

18.02.2011, 13:18	quis	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellung endl. Gruppen: Iso Beweis Zuerst mal das Setup: G: endl. Gruppe Es seien alle (bis auf Isomorphie) irreduziblen Darstellungen von G gegeben. Es seien genau h irreduzible Darstellungen, durch die $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ als Vektorraum in h verschiedene Unterräume zerlegt wird: $\begin{eqnarray} \rho_i: G\longrightarrow GL(W_i), n_i=dim(W_i) \end{eqnarray}$ . klar ist: $\begin{eqnarray} End(W_i) \cong M_{n_i}(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ Aufgrund der Basisidentifikation kann man $\begin{eqnarray} \rho_i \end{eqnarray}$ zu einem Ringhomomorphismus ausbauen: $\begin{eqnarray} \tilde{\rho_i}:\mathbb{C}[G]\longrightarrow End(W_i) \end{eqnarray}$ Die Familie der $\begin{eqnarray} (\tilde{\rho_i})_{1\leq i \leq h} \end{eqnarray}$ induziert sodann einen Homomorphismus: $\begin{eqnarray} \tilde{\rho}:\mathbb{C}[G]\longrightarrow \prod^{h}_1 End(W_i) \cong \prod^{h}_1 M_{n_i}(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ Beh: $\begin{eqnarray} \tilde{\rho} \end{eqnarray}$ ist ein Isomorphismus. Beweis: Surjektivität: Wenn eine nichtriviale Linearform $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ existiert die auf dem Bild von $\begin{eqnarray} \tilde \rho \end{eqnarray}$ verschwindet ist $\begin{eqnarray} \tilde \rho \end{eqnarray}$ nicht surjektiv. also betrachtet man nun: $\begin{eqnarray} k: G\rightarrow \prod^{h}_1 M_{n_i}(\mathbb{C}),\, g \in G \mapsto \left( r^{\alpha \beta}_i(g) \right)_i \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ als Koeffizientenfunktion. wenn man jetzt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ anwendet sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \forall g\in G:\lambda\left( \left( r^{\alpha \beta}_i(g) \right)_i \right) = \sum r^{\alpha \beta}_i(g) \lambda_{\alpha \beta}^{i}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum r^{\alpha \beta}_i(-) \lambda_{\alpha \beta}^{i}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} r^{\alpha \beta}_i \end{eqnarray}$ sind linear abhängig. was ein Widerspruch ist. so meine Frage: für Matrizen aus verschiedenen Unterräumen ist mir das Ganze klar, das liegt ja einfach daran, dass die zu Grunde liegenden Darstellungen nicht isomorph sind. Und die Summe dann wegen der Orthogonalität null wird, also die $\begin{eqnarray} \lambda^i \end{eqnarray}$ null sein müssen. Aber wie sieht das aus wenn ich Matrizen aus dem selben Unterraum betrachte? Hoffe es ist klar geworden was ich meine. Gruß quis
18.02.2011, 13:21	quis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellung endl. Gruppen: Iso Beweis AHH bitte in Hochschulmathematik verschieben. sry

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