spirale beschreiben

18.02.2011, 19:13	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
spirale beschreiben Meine Frage: hallo zusammen!!=) könnte mir jemand erklären, wie man die punkte einer spirale in der ebene möglichst mit einer gleichung in einem rechtwinkeligen Koordinatensysthem beschreibt? Meine Ideen: da wir das thema in der schule nicht durchgenommen haben habe ich bis auf die wikipedia(eher nicht aufschlussreich weil unverständlich) wenig ahnung. danke im voraus
18.02.2011, 19:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut geht das mit Polarkoordinaten. Diese kann man auch in eine Parameterform umrechnen. Z. B.: $\begin{eqnarray} r(\varphi) = e^{a \varphi} \end{eqnarray}$ mY+
19.02.2011, 14:22	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin schüler, daher sagen mir polarkoordinaten (noch) nichts. ist es nicht möglich eine spirale mit einer form zu beschreiben, die ähnlich den thermen für gerade oder kreis sind? wovon ist eine spirale abhängig? bei gerade: k & d bei kreis (m1/m2) & radius bei ellipse a & b bei spirale??
19.02.2011, 20:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du als Schüler mit diesem Fachgebiet noch nicht konfrontiert bist, und auch die Parametrisierung noch nicht kennst, wirst du solche Kurven, wie hier die logarithmische Spirale - nur mittels kartesischen Koordinaten kaum befriedigend behandeln können. Daher musst du noch ein wenig warten oder dich jetzt schon dafür interessieren. Die Parametergleichungen siehst du in der Grafik eingeschrieben (x = x(t); y = y(t)) und die Umformung daraus bzw. der Polarkoordinatenform ergibt letztendlich $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \ln (x^2 + y^2) = a \cdot \arccos \frac x {\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ Du siehst, dass diese (implizite) Gleichung nur noch eine Abhängigkeit von a beinhaltet. mY+
20.02.2011, 10:38	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
und a ist ein Parameter? wo finde ich a im "Graph"? hast recht ist etwas kompliziert=) ich weiß dass polarkoordinaten einen punkt durch einen winkel und einen Abstand zu einem anderen punkt(vermutlich der Ursprung) definieren. Aber 1. mittels pythagoras und der trigonometrie kommt man auf abstand und winkel eines Punktes zum ursprung. Aber geht das auch leichter? 2. wie mache ich damit einen therm, der beispielsweise eine funktion beschreibt? bzw. 3. wie komme ich nun auf die gleichung der archimedischen spirale? danke!
20.02.2011, 11:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
- Im Graphen ist a = 0,123 - Die Umrechnung von Polar- in rechtwinkelige Koordinaten findest du dort - Die (implizite) Gleichung der Spirale steht genau im Vorpost, die Parameterdarstellung steht beim Graphen - ich habe den Eindruck, dass du nicht alles genau gelesen hast - allgemein lautet sie: $\begin{eqnarray} x = e^{at} \cos t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = e^{at} \sin t \end{eqnarray}$ mY+
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20.02.2011, 11:04	JL	Auf diesen Beitrag antworten »
wie sie lautet stand oben, aber wie man auf sie kommt sehe ich nirgendwo. ich will verstehen warum die gleichung so lautet wo sehe ich a im graph? hat jede spirale ein "a" wenn ja wie komme ich darauf? danke
20.02.2011, 20:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man zu dieser Gleichung kommt bzw. die Zusammenhänge solltest du selbst erarbeiten. Die Beziehungen (und Link) dazu hast du schon bekommen. Tipp: $\begin{eqnarray} t = \varphi \end{eqnarray}$ . Berechne aus r, $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die Koordinaten x, y mittels der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Eliminiere dann den Winkel. Mittels des Tangens kann man ein etwas anderes Aussehen der Gleichung erreichen: $\begin{eqnarray} \tan t = \frac y x \ \to \ y = x \tan t \end{eqnarray}$ und berechne dann t aus $\begin{eqnarray} e^{at} = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ Viel Sinn haben die impliziten Gleichung allerdings nicht. Die Polar- bzw. Parameterform sind wesentlich eingängiger. Welchen Einfluss der Parameter a auf die Kurvenform hat, kann man sich in diesem Applet ansehen: http://www.mathe-online.at/mathint/geom3...b_spiralen.html Einige Spiralen und deren Gleichungen sieht man auch in http://www.mathematische-basteleien.de/s...ische%20Spirale mY+

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