Partialbruchzerlegung bei AWA (Laplace Trafo)

18.02.2011, 19:24

demanis

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Partialbruchzerlegung bei AWA (Laplace Trafo)

Hallo,
Ich Sitze schon eine ganze Weile an einer Aufgabe und bin langsam am verzweifeln. Ich hoffe mir kann jemand fix weiterhelfen. Und zwar geht es um die Partialbruchzerlegung bei einer Laplace Transformation. Der Term lautet:

4= A (s - 2) + B (s - 1) (s - 2) + C ( s - 1)

Ich habe mir angeeignet die Aufgaben mittels Koeffizientenvergleich und lösen eines LGS zu bewältigen, da dies immer möglich ist. Ich weiß, das es manchmal schneller geht, aber ich mache es dennoch so.
Meine Lösung des LGS lautet:

A=0
B=0
C=4

Die richtige Lösung ist aber:

A=4
B=-4
C=4

Was mache ich nur Falsch??????

LG

18.02.2011, 19:34

Mystic

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RE: Partialbruchzerlegung bei AWA (Laplace Trafo)
Ich komme weder auf deine, noch auf die von dir angegebene "richtige" Lösung... Auch weiß ich natürlich nicht, was genau du falsch machst, denn du sagst ja nicht einmal andeutungsweise, was du eigentlich gemacht hast...

Richtig wäre jedenfalls, der Reihe nach die Werte s=2,1,0 einzusetzen und so die Werte von C,A und B zu bestimmen...

18.02.2011, 19:43

demanis

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Ja, was du meinst wäre dann die "einsetzmethode" ich versuche es ja mit dem Koeffizientenvergleich zu lösen.
Ok, hier ist die Aufgabe:

Y(s) = 4 / ( s^2 - 3s + 2 ) + 14-3s/ s^2 - 3s + 2

Ich bin dabei den ersten Term zu zerlegen. Die Lösung ist aus einem Buch (Mathematik für ingenieure), sollte also stimmen. Sorry, dass ich gerade kein LaTeX verwende. Schreibe vom Handy, weil ich gerade keinen Rechner zur Verfügung habe.

18.02.2011, 19:45

demanis

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Habe übrigens bisher nur den Ansatz für den ersten Term aufgestellt und gleichnamig gemacht...

18.02.2011, 19:48

Mystic

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Komme nur auf

4 = A(s-2)+B(s-1)

Wo kommt dein dritter Term her? verwirrt

verwirrt

18.02.2011, 19:54

demanis

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Zwei ist doppelte Nullstelle, daher (nach Regel der PBZ) :
C/(s-2)^2

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18.02.2011, 19:55

Mystic

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Wie in aller Welt kommst auf die Idee, dass 2 doppelte Nullstelle des Nenners sein könnte??? Der müsste ja dann mit 3 Nullstellen den Grad 3 haben...

18.02.2011, 20:01

demanis

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Aus der p,q Formel ergeben sich die Nullstellen 1 und 2. Da unterm Bruchstrich aber schon der linearfaktor (s-2) steht, wird auf der rechten Seite der Gleichung noch C/ (s-2)^2 dazu addiert. So ist es auch hier im Buch gemacht worden. Daher nehme ich an, das der Wert 2 sozusagen als doppelte NS deklariert wurde.

18.02.2011, 20:11

Mystic

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Hm, momentan versteh ich nur Bahnhof... Also wenn es um die PBZ von

$\begin{eqnarray*} \frac4{s^2-3s+2} \end{eqnarray*}$

geht, so ist jedenfalls der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac 4{s^2-3s+2}=\frac A{s-1}+\frac B{s-2} \end{eqnarray*}$

der einzig wahre, und der liefert nach einfacher Rechnung

$\begin{eqnarray*} 4 =A(s-2)+B(s-1) \Rightarrow A=-4,\ B=4 \end{eqnarray*}$

18.02.2011, 20:18

demanis

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RE: Partialbruchzerlegung bei AWA (Laplace Trafo)
Oh, tut mir echt leid, habe gerade gesehen, dass ich die Aufgabenstellung falsch abgetippt habe. Also hier nochmal:

Y(s) = 4/ (s^2 - 3s + 2)(s-2) + 14-3s / s^2 - 3s + 2

Wie gesagt, geht zunächst um den ersten Term.

18.02.2011, 20:31

Mystic

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RE: Partialbruchzerlegung bei AWA (Laplace Trafo)

Zitat:

Original von demanis
Oh, tut mir echt leid, habe gerade gesehen, dass ich die Aufgabenstellung falsch abgetippt habe. Also hier nochmal:

Y(s) = 4/ (s^2 - 3s + 2)(s-2) + 14-3s / s^2 - 3s + 2

Wie gesagt, geht zunächst um den ersten Term.

Oh Gott, und dann hast du beim auf "auf gemeinsamen Nenner bringen" einen weiteren Schnitzer gemacht, nämlich aus

$\begin{eqnarray*} \frac 4{(s-1)(s-2)^2}=\frac A{s-1}+\frac B{s-2}+\frac C{(s-2)^2} \end{eqnarray*}$

folgt richtig

$\begin{eqnarray*} 4=A(s-2)^2+B(s-1)(s-2)+C(s-1) \end{eqnarray*}$

also was gaaaanz anderes als bei dir... unglücklich

unglücklich

18.02.2011, 20:41

demanis

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Nein, weisst du was, da hatte ich auch vergessen das Quadrat abzutippen. unglücklich

unglücklich

Ich habe beim lösen des LGS einen blöden Fehler gemacht. Und ich dachte die ganze Zeit mein Fehler liegt bei der PBZ. Aber deine Hilfe war mir dennoch sehr groß, weil ich so festgestellt habe, wo der Fehler war. Ich danke dir vielmals! Wink

Wink

Kann sein, dass ich die Tage noch einige Fragen habe. Also nochmals Danke! smile

smile

18.02.2011, 20:51

Mystic

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Zitat:

Original von demanis
Nein, weisst du was, da hatte ich auch vergessen das Quadrat abzutippen. unglücklich

unglücklich

Ich habe beim lösen des LGS einen blöden Fehler gemacht. Und ich dachte die ganze Zeit mein Fehler liegt bei der PBZ.

Ich finde du solltest die richtige Konsequenz aus der ganzen Sache ziehen und ab heute auf die "Polmethode" umsteigen, welche der "Koeffizientenvergleichsmethode" haushoch überlegen ist, wie man auch hier wieder sehr schön sehen kann...

Einsetzen von s=2 ergibt aus

$\begin{eqnarray*} 4=A(s-2)^2+B(s-1)(s-2)+C(s-1) \end{eqnarray*}$

sofort und fast ohne Rechnung C=4, desgleichen liefert einsetzen von s=1 sofort und fast ohne Rechnung ebenfalls A=4... Den Wert B=-4 kann man auf verschiedene Weisen erhalten, z.B. wäre der Koeffizientenvergleich bei $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ eine solche, der A+B=0 liefert, oder Einsetzen von s=0 oder (am aufwendigsten!) Ableiten und nochmals Einsetzen von s=2...

Warum die "Koeffizientenvergleichsmethode" unter diesen Umständen überhaupt propagiert wird, gehört für mich zu den Mysterien, welche ich nie richtig verstanden habe... geschockt

geschockt

18.02.2011, 21:07

demanis

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Ja, das habe ich auch zwischenzeitlich versucht. Aber mir war nicht bewusst, dass man beim Lösen mit der "Polmethode" für den dritten Wert noch andere möglichkeiten hat außer abzuleiten. Diese Methode, also mit den ableiten, steht auch hier bei mir im Buch. Dies erschien allerdings auch mir aufwendig. Hatte aber auch A und C so berechnet. Auf B bin ich dann ohne ableiten nicht mehr gekommen. Wie meinst du das mit dem Koeffizientenvergleich bei s^2? Würde mich natürlich nochmal brennend ausführlicher interessieren.

18.02.2011, 21:14

demanis

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Ah ich habe es gerade verstanden. Also einfach eine bekannte und eine unbekannte... Kann man das irgendwie verallgemeinern, sodass man eine feste Regel auf vielleicht umfangreichere PBZ's mit höherem Grad etc anwenden kann?

18.02.2011, 21:17

Mystic

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Zitat:

Original von demanis
Wie meinst du das mit dem Koeffizientenvergleich bei s^2? Würde mich natürlich nochmal brennend ausführlicher interessieren.

Hm, seltsame Frage... verwirrt

verwirrt

Du hast schließlich doch auch und für alle Potenzen von $\begin{eqnarray*} s^i,\ i=2,1,0 \end{eqnarray*}$ einen Koeffizientenvergleich durchgeführt, wenn ich dich richtig verstanden habe...

Wir benötigen aber hier nur den Koeffizientenvergleich für die höchste Potenz, also $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ ... Der liefert dann die Gleichung 0=A+B... Nachdem wir den Wert von A schon kennen, nämlich A=4, ergibt sich daraus B= - 4, wiederum fast ohne Rechnung...

Edit: Gerade dieses Beispiel zeigt sehr schön die Faustregel: Setze auf jeden Fall alle Pole ein und bestimme soviele Koeffizienten damit als irgend möglich... Danach mach meinetwegen mit Koeffizientenvergleich weiter (beginnend mit den höchsten Koeffizienten!) und stelle soviele Gleichungen auf, als du noch brauchst... Du sollltest nur nicht den Fehler machen, so wie hier, damit zu beginnen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2011, 14:24

demanis

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Ok. Dann rechne ich heute mal weiter und melde mich nochmal bei Unklarheiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nochmal Dankeschön!

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