Mächtigkeit

19.02.2011, 11:41

Gast11022013

Mächtigkeit

Meine Frage:
Hallo, ich bin gerade dabei, Algebra I zu wiederholen und schon auf dem ersten Übungszettel finde ich eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann, nämlich:

Es sei G Gruppe.

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} |gh|=|hg|, \forall g,h\in G \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe noch keine Idee, wie man das zeigen kann.
Man soll doch zeigen, dass Gleichmächtigkeit vorliegt und daher denke ich, dass man irgendeine Bijektion finden muss?

19.02.2011, 11:58

zweiundvierzig

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RE: Mächtigkeit

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Ideen:
Ich habe noch keine Idee, wie man das zeigen kann.
Man soll doch zeigen, dass Gleichmächtigkeit vorliegt und daher denke ich, dass man irgendeine Bijektion finden muss?

Die Aufgabe ist wohl eher zu zeigen, dass die Ordnungen der Elemente $\begin{eqnarray*} gh \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} hg \end{eqnarray*}$ übereinstimmen.

19.02.2011, 12:11

Gast11022013

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RE: Mächtigkeit
Stimmt. Dankesehr für die Korrektur!

Okay, was ich zum Thema "Ordnung eines Gruppenelements" weiß, ist Folgendes:

1. $\begin{eqnarray*} |gh|=|<gh>| \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} |gh| \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} |G| \end{eqnarray*}$

Hier würde ich eher vermuten, dass man Punkt 1 benötigt.

Da zur Gruppe G nicht steht, ob sie endlich oder unendlich ist, muss man sicher beide Fälle in Betracht ziehen:

a) Sei $\begin{eqnarray*} |G|=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <gh>=\left\{...,(gh)^{-2},(gh)^{-1},e,gh,(gh)^2,...\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <hg>=\left\{...,(hg)^{-2},(hg)^{-1},e,hg,(hg)^2,...\right\} \end{eqnarray*}$

b) Sei $\begin{eqnarray*} |G|<\infty \end{eqnarray*}$
Dann muss es doch $\begin{eqnarray*} k,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} (gh)^k=e,(hg)^m=e \end{eqnarray*}$ . Also:

$\begin{eqnarray*} <gh>=\left\{e,gh,...,(gh)^{k-1}\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <hg>=\left\{e,hg,...,(hg)^{m-1}\right\} \end{eqnarray*}$

Wie man nun die Gleichheit zeigt, wie die Aufgabe es verlangt, weiß ich nicht.

Im Fall a) würde ich rein intuitiv sagen: Man sieht ja, dass die Mengen gleichviele Elemente haben... mathematisch weiß ich das aber nicht zu beweisen.
Im Fall b) müsste man sicher zeigen, dass k=m. Auch hier weiß ich nicht, wie man das macht.

Ein Tipp wäre willkommen! Augenzwinkern

19.02.2011, 12:33

tmo

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Alles was zu zeigen ist, ist:

$\begin{eqnarray*} (gh)^n =e \Leftrightarrow (hg)^n=e \end{eqnarray*}$

Dabei ist sogar nur eine Richtung zu zeigen, weil man h und g vertauschen kann.

Man braucht dabei auch keine Fallunterscheidung, ob die Ordnung endlich ist oder nicht, obige Äquivalenz liefert bereits alles.

Nehme dazu mal an, es gilt $\begin{eqnarray*} (gh)^n \end{eqnarray*}$ und berechne dann $\begin{eqnarray*} (hg)^nh \end{eqnarray*}$ .

19.02.2011, 12:41

Gast11022013

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Ich komme gleich auf Deinen Vorschlag zurück und werde ihn sehr gerne berücksichtigen, aber kann man es auch nach meinem Ansatz zeigen?

Denn dieser Ansatz wurde auch im Tutorium besprochen. Leider habe ich nicht sauber mitgeschrieben, weshalb ich jetzt Probleme habe.

19.02.2011, 12:56

tmo

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Natürlich geht es auch mit deinem Ansatz, dann zeigt man, dass

$\begin{eqnarray*} \varphi: \langle hg \rangle \to \langle gh \rangle, (hg)^z \mapsto (gh)^z \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung ist. Aber das läuft, wenn man sich der Injektivität (und der Wohldefiniertheit, die Surjektivität ist trivial) widmet, auch darauf hinaus die obige Äquivalenz zu zeigen.

19.02.2011, 13:06

Gast11022013

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Danke!

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