Matrix Normalformen

19.02.2011, 13:15

hnky

Matrix Normalformen

hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob ich das thema der matrix normalformen richtig verstanden habe und möchte deshalb folgende aufgabe lösen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb F_2^{4 \times 4} \end{eqnarray*}$ .

Bestimme
a)die Invariantenteiler und Elementarteiler der charakteristischen Matrix
b)die Frobenius Normalform von A
c)die Weierstraß Normalform von A
d) die Jordan Normalform von A

die charakteristische matrix ist $\begin{eqnarray*} B:=\begin{pmatrix} x & 0& 1 & 0 \\ 0 & x+1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann lasse ich den smith-algorithmus auf die charakteristische matrix los, und erhalte am ende $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x+1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x^3+x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier habe ich direkt 2 fragen:
1)ist der letzte eintrag in meiner diagonalmatrix immer das minimalpolynom der ursprünglichen matrix?
2) ist das produkt aller invariantenteiler(also diagonaleinträge) immer das char. polynom?

die Invariantenteiler sind demnach also $\begin{eqnarray*} 1,1,x+1,x^3+x \end{eqnarray*}$
die Elementarteiler sind dann $\begin{eqnarray*} x+1,x,(x+1)^2 \end{eqnarray*}$
(da einheiten, also konstante polynome ungleich 0 in diesem fall, keine elementarteiler sind)

die Frobenius Normalform besteht, soweit ich das verstanden habe, lediglich aus den begleitmatrizen der einzelnen invariantenteiler, deren grad größer gleich 1 ist.

damit erhält man also einen 1x1 block mit einer 1, und einen 3x3 block, welcher die begleitmatrix von $\begin{eqnarray*} x^3+x \end{eqnarray*}$ ist. damit wäre dann die frobenius normalform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Weierstraß Normalform besteht aus den begleitmatrizen der einzelnen elementarteiler, also in meinem fall ein 1x1 block mit eintrag 1, ein 1x1 block mit eintrag 0 und ein 2x2 block, der die begleitmatrix zu $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ darstellt.
damit erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

um die Jordan Normalform zu bestimmen, benötige ich das charakteristische polynom. die JNF existiert nur, wenn das char. polynom in linearfaktoren zerfällt, was hier der fall ist, da $\begin{eqnarray*} \chi_A=(x+1)(x^3+x)=x(x+1)^3 \end{eqnarray*}$ ist.
da hier das char. polynom komplett zerfällt, ist die matrix diagonalisierbar und somit ist die JNF gleich der diagonalmatrix mit den eigenwerten auf der diagonalen, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe ich das mit den normalformen von matrizen so richtig verstanden, oder bin ich irgendwo komplett auf dem holzweg?

danke schonmal im voraus an jeden, der sich mit diesem thema auskennt smile

19.02.2011, 16:59

jester.

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RE: Matrix Normalformen
Hallo,

Zitat:

Original von hnky
die charakteristische matrix ist $\begin{eqnarray*} B:=\begin{pmatrix} x & 0& 1 & 0 \\ 0 & x+1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann lasse ich den smith-algorithmus auf die charakteristische matrix los, und erhalte am ende $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x+1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x^3+x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt.

Zitat:

hier habe ich direkt 2 fragen:
1)ist der letzte eintrag in meiner diagonalmatrix immer das minimalpolynom der ursprünglichen matrix?
2) ist das produkt aller invariantenteiler(also diagonaleinträge) immer das char. polynom?

Die Diagonalelemente der Smith-Normalform sind eindeutig bis auf Assoziiertheit. Da der Polynomring über einem Körper ein Integritätsbereich ist, ist dies dasselbe wie Multiplikation mit Einheiten.
D.h. ja, das stimmt, bis auf Multiplikation mit Einheiten. Wenn du deine Polynome also so normierst, wie du es hier getan hast, sollte das hinkommen.

Zitat:

die Invariantenteiler sind demnach also $\begin{eqnarray*} 1,1,x+1,x^3+x \end{eqnarray*}$
die Elementarteiler sind dann $\begin{eqnarray*} x+1,x,(x+1)^2 \end{eqnarray*}$
(da einheiten, also konstante polynome ungleich 0 in diesem fall, keine elementarteiler sind)

Zitat:

die Frobenius Normalform besteht, soweit ich das verstanden habe, lediglich aus den begleitmatrizen der einzelnen invariantenteiler, deren grad größer gleich 1 ist.

damit erhält man also einen 1x1 block mit einer 1, und einen 3x3 block, welcher die begleitmatrix von $\begin{eqnarray*} x^3+x \end{eqnarray*}$ ist. damit wäre dann die frobenius normalform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch.

Zitat:

die Weierstraß Normalform besteht aus den begleitmatrizen der einzelnen elementarteiler, also in meinem fall ein 1x1 block mit eintrag 1, ein 1x1 block mit eintrag 0 und ein 2x2 block, der die begleitmatrix zu $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ darstellt.
damit erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist auch ok.

Zitat:

um die Jordan Normalform zu bestimmen, benötige ich das charakteristische polynom. die JNF existiert nur, wenn das char. polynom in linearfaktoren zerfällt, was hier der fall ist, da $\begin{eqnarray*} \chi_A=(x+1)(x^3+x)=x(x+1)^3 \end{eqnarray*}$ ist.
da hier das char. polynom komplett zerfällt, ist die matrix diagonalisierbar und somit ist die JNF gleich der diagonalmatrix mit den eigenwerten auf der diagonalen, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht ganz. Die Matrix ist zwar trigonalisierbar (d.h. diese JNF existiert bzw. deine Matrix ist zu einer oberen oder unteren Dreiecksmatrix ähnlich), aber nicht diagonalisierbar, denn eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt.

In der Smith-Normalform deiner charakteristischen Matrix steht einmal $\begin{eqnarray*} X+1 \end{eqnarray*}$ mit einfacher Vielfachheit, dies liefert dir eine 1 auf der Diagonalen.
Dann steht da $\begin{eqnarray*} X\cdot (X+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liefert dir eine 0 auf der Diagonalen, das $\begin{eqnarray*} (X+1)^2 \end{eqnarray*}$ liefert einen Jordan-Block der Größe 2 zum Eigenwert 1.

D.h. deine Matrix ist ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \begin{array} {cc|c|c} 1&1 \\ &1 \\ \hline &&1 \\ \hline &&&0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder einer beliebigen Permutation dieser Blöcke.

19.02.2011, 17:47

hnky

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hey,

danke für die erklärung smile

damit ist alles klar smile

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