Resonanz bei DGL

19.02.2011, 17:33	Lukas2	Auf diesen Beitrag antworten »
Resonanz bei DGL Hallo, ich habe hier eine umfangreichere Aufgabe. Es geht um die Auswahl eines Ansatzes für die Partikulärlösung, je nach Resonanz. Es wäre super nett, wenn jemand mal meine Lösung kontrollieren könnte. Also die Gleichung lautet: $\begin{eqnarray} y^{(4)}-y'''+3y''+5y'=g(x) \end{eqnarray}$ Die homogene Lösung lautet mit den Nullstellen der char. Gleichung: $\begin{eqnarray} \lambda_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{3{,}4}=1\pm 2i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_h=C_1+C_2\cdot e^{-x}+C_3\cdot e^x\cdot \cos(2x)+C_4\cdot e^x\cdot \sin(2x) \end{eqnarray}$ Das fällt mir alles noch relativ leicht. Problematisch wird es nur, wenn es um das Thema Resonanz geht. g(x) soll jetzt sein: $\begin{eqnarray} g(x)=2x^2+3x^3 \end{eqnarray}$ hier gibt es meiner Ansicht nach 1-Fache Resonanz: Also wähle ich den Ansatz: $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot(Ax^3+Bx^2+Cx+D) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=2\cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ Auch hier einfache Resonanz: Ansatz: $\begin{eqnarray} y_P=A\cdot x\cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=(4x-5)\cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ Wieder 1 Fache Resonanz daher: $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot(Ax+B)\cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=3x\cdot \cos(2x) \end{eqnarray}$ keine Resonanz $\begin{eqnarray} y_p=(Ax+B)\cdot\cos(2x)+(Cx+B)\cdot\sin(2x) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=e^x \cdot \sin(x) \end{eqnarray}$ Keine Resonanz $\begin{eqnarray} y_p=e^x\cdot\sin x+e^x\cdot\cos x \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=e^x\cdot(4\sin(2x)-3\cos(2x)) \end{eqnarray}$ es gibt einfache Resonanz das Problem ist nur der Ansatz. Reicht: $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot(e^x\cdot A\cdot\sin(2x)+e^x\cdot B \cdot \cos(2x)) \end{eqnarray}$ , oder muss ich jeden Sinus bzw. Cosinus Term mit beiden Winkelfunktionen ansetzen? Also so: $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot(e^x\cdot A\cdot\sin(2x)+e^x\cdot B \cdot \cos(2x)+e^x\cdot C\cdot\sin(2x)+e^x\cdot D \cdot \cos(2x)) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=4x\cdot e^x \cdot \cos(2x) \end{eqnarray}$ Wieder 1-fache Resonanz: $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot e^x \cdot((Ax+B)\cdot\sin(2x)+(Bx+C)\cdot\cos(2x)) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=2+\cosh(x) \end{eqnarray}$ Das habe ich umgeschrieben: $\begin{eqnarray} g(x)=2+\frac 1 2 \cdot e^x-\frac 1 2 \cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ Hier hat der erste und der letzte Summand 1-fache Resonanz, der mittlere keine: $\begin{eqnarray} y_p=Ax+B\cdot e^x+Cx\cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ $\begin{eqnarray} g(x)=\sinh^2(x) \end{eqnarray}$ Wieder umgeschrieben: $\begin{eqnarray} g(x)=\frac 1 4 (x^y - e^{-x})^2 =\frac 1 4 \cdot(e^{2x}-2+e^{-2x}) \end{eqnarray}$ Der Mittlere Summand hat 1-fache Resonanz: $\begin{eqnarray} y_p=A\cdot e^{2x}+B\cdot x+C\cdote^{-2x} \end{eqnarray}$
19.02.2011, 23:27	B12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Resonanz bei DGL Ich glaube ich hätte es auch so gemacht, außer 7 vielleicht Die beiden sind gleichwertig $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot(e^x\cdot A\cdot\sin(2x)+e^x\cdot B \cdot \cos(2x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_p=x\cdot(e^x\cdot A\cdot\sin(2x)+e^x\cdot B \cdot \cos(2x)+e^x\cdot C\cdot\sin(2x)+e^x\cdot D \cdot \cos(2x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=2+\cosh(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=2+\frac 1 2 \cdot e^x+\frac 1 2 \cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_p=A\cdot e^{2x}+B\cdot x+C\cdot e^{-2x} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »