3 Vektoren untersuchen auf komplanarität

19.02.2011, 18:14

Thino

3 Vektoren untersuchen auf komplanarität

Meine Frage:
Ich habe 3 Vektoren: Soll untersuchen ob die komplanar sind. ich krieg das nur nicht aufgelöst, wie gehe ich da vor?

Meine Ideen:
Habe Gleichunssystem:
0=1r+1s+2t
0=7r+2s-1t
0=2r+1s+1t

wie fange ich am besten an?

19.02.2011, 18:55

Draos

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Es geht durch:
Gaußsches Eliminationsverfahren

oder machst folgendes (geht gut im R^3):
$\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} a\cdot (b \times c)=0 \end{eqnarray*}$ weißt du, das a,b,c in einer Ebene liegen.

19.02.2011, 19:40

thino

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Ich habe sonst ne andere Möglichkeit, wenn ich einen der Vektoren gleich die anderen setze, komm ich dann auch drauf ob sie komplanar sind oder nicht?
das ich das auch in einem gleichungssystem auflöse & wenn z.b 1=1 rauskommt sind sie komplanar oder ?
muss ich dann aber jeden vektor einmal gleich die anderen vektoren stellen?
und was ist, wenn ich schon sehe, dass 2 vektoren komplanar sind? kann ich dann schon was sagen? weil dann lässt sich das gleichunssystem ja nicht auflösen..

19.02.2011, 19:45

Draos

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2 Vektoren sind immer komplanar. Was du meinst ist kolinear.

2 Vektoren spannen Ebenen auf, du musst schauen ob der dritte auch in der gleichen Ebene liegt.

19.02.2011, 19:51

Thino

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Aber wenn ich sehe, wenn 2 der Vektoren kollinear sind, ist der 3 dazu dann automatisch komplanar?
gibt es noch ne andere möglichkeit außer mit dem nullvektor? hab das gleichungssystem mit 3 unbekannten nicht so raus..

19.02.2011, 20:02

Draos

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Wenn 2 von den 3 kollinear sind, müssen alle 3 komplanar sein.

Ansonsten:

Zitat:

Original von Draos
Es geht durch:
Gaußsches Eliminationsverfahren

oder machst folgendes (geht gut im R^3):
$\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} a\cdot (b \times c)=0 \end{eqnarray*}$ weißt du, das a,b,c in einer Ebene liegen.

Zur Erklärung: Das Volumen eines Spates der Vektoren a,b,c wird durch $\begin{eqnarray*} a\cdot (b\times c) \end{eqnarray*}$ berechnet, wenn das Volumen 0 ist, sind die 3 Vektoren komplanar (liegen in einer Ebene)

Beim Eliminationsverfahren kann man dir aber sicher bei Verständnisfragen helfen, damit du es raus bekommst Wink

19.02.2011, 20:41

Thino

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Mal ein Beispiel:
ich habe Vektoren
a (-4/-2/0), b(2/1/3),c(0/0/1)
wie meinen sie dann das mit dem volumen?

19.02.2011, 20:48

Draos

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$\begin{eqnarray*} V=a\cdot (b \times c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ist das Kreuzprodukt
$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ist das Skalarprodukt

Setz die Vektoren ein und rechne die Formel aus, wenn V=0 wird kein Volumen aufgespannt.

Wenn du die Produkte nicht kennst, musste doch über das LGS gehen.

19.02.2011, 20:52

Thino

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Von b & c ist das produkt ja 3, nehme ich das jetzt mal den vektor?
können Sie mir das einmal vormachen ? bitte..

19.02.2011, 21:02

Draos

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$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\a_3b_1 - a_1b_3 \\a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist das Beispiel aus Wiki zum Kreuzprodukt. Wichtig beim Kreuzprodukt kommt ein Vektor raus.

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